9.1 Modèle microscopique
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des instants aléatoires. Plus précisément, soient (N
(i) ) 1ia des processus de
Poisson indépendants de même intensité 1/a. Posons
Z t (i) = Z 0 (i) + N
(i)
t
mod 2.
Chaque coordonnée est modifiée indépendamment des autres à des temps
exponentiels de paramètre 1/a. Cette dynamique peut être résumée par le
générateur infinitésimal du processus L = Q − I : pour toute fonction f de F
dans R et tout x ∈ F ,
Lf (x) =
1
a
y∼x
(f (y) − f (x)) =
1
a
n
i=1
(f (x (i) ) − f (x))
où x (i) ∈ F s’obtient à partir de x en inversant la i
e coordonnée. La loi
uniforme π est solution de πL = 0 et constitue la loi invariante de Z.
Théorème 9.5 (Temps long du modèle à temps continu). Pour tout t 0,
max
x∈F
d VT (Loi(Z t | Z 0 = x), π) P(S a > t)
où S a := max 1ia E i et E 1 , . . . , E a sont des v.a.r. i.i.d. de loi Exp(2/a).
Démonstration. On reprend la méthode de preuve du théorème 9.3 par couplage. On montre tout d’abord de la même manière que pour tout x ∈ F ,
d VT (Loi(Z t | Z 0 = x), π) max
x ∈F
d VT (Loi(Z t | Z 0 = x), Loi(Z t | Z 0 = x
)).
Ensuite on construit un couplage comme suit : les couples de coordonnées
(Z · (i), Z
· (i)) 1ia évoluent indépendamment et pour chaque i, Z t (i) et Z
t (i)
sont indépendants tant qu’ils sont différents et restent collés lorsqu’ils se
touchent. Le générateur infinitésimal L du processus ((Z t , Z
t )) t0 est donné
pour toute fonction f de F × F dans R et tout (x, x
) ∈ F × F par
Lf (x, x
) =
1
a
a
i=1
(f (x (i) , x
(i) ) − f (x, x
))1 xi=x
i
+ (f (x, x
(i) ) − f (x, x
))1 xi =x
i
+ (f (x (i) , x
) − f (x, x
))1 xi =x
i
.
Il coïncide avec L lorsque f ne dépend que de la première ou que de la seconde variable : Z et Z
sont des chaînes de générateur L. On prend pour
condition initiale (Z 0 , Z
0 ) = (x, x
). Comme dans la preuve du théorème 9.3
par couplage, la loi du temps de coalescence global
S d := inf{t 0 : Z t = Z
𵫿
t }
ne dépend de (x, x
) qu’à travers d := d(x, x
), et