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9 Urnes d’Ehrenfest
R
n (x, y) =
1
2 a +
2
a
j=2
f j (x)f j (y)λ
n
j .
À présent, d’après le théorème 1.5 et l’inégalité de Schwarz,
4d VT (R
n (x, ·), π(·))
2 =
y∈F
|R
n (x, y) − π(y)|
2 2
a
y∈F
|R
n (x, y) − π(y)|
2 .
Puisque (f i ) i est une base orthonormée, la décomposition spectrale donne
y∈F
|R
n (x, y) − π(y)|
2 =
2
a
i,j=2
f i (x)f j (x)f i , f j λ
n
i λ
n
j =
2
a
i=2
f i (x)
2 λ
2n
i .
Par symétrie de F et R, la quantité
y∈F |R
n (x, y) − π(y)|
2 ne dépend pas
de x ∈ F . En sommant sur x ∈ F , on obtient
2
a
𚵿
y∈F
|R
n (x, y) − π(y)|
2 =
2
a
i=2
λ
2n
i ,
qui fournit la majoration
4d VT (R
n (x, ·), π(·))
2
2
a
i=2
λ
2n
i .
Or on peut établir que les valeurs propres de R sont les réels (1 − k/a) 0ka
avec les multiplicités respectives
a
k
pour 0 k a. On a donc
4d VT (R
n (x, ·), π)
2
a
k=1
1 −
k
a
2n
a
k
a
k=1
e
−2nk/a
a
k
=
1 + e
−2n/a
a − 1.
Le choix n = (1/2)a log(a) + ca fournit
4d VT (R
n (x, ·), π)
2
𨐾
1 +
e
−2c
a
a
− 1 e
e
−2c − 1.
On a e
e
−2c − 1 2e
−2c dès que c 0, d’où le résultat.
Une autre façon de contourner le problème de la périodicité de la matrice Q
est d’introduire une version à temps continu (Z t ) t0 de la chaîne (Y n ) n0 . On
suppose que chaque coordonnée subit une inversion
4 de 0 à 1 ou de 1 à 0 à
4. «Flip» en anglais.