Table des matières
xxi
III.6 Triplets endoscopiques non standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
III.6.1 Apparition des triplets endoscopiques non standard . . . . . 375
III.6.2 Définition de triplets (G, ˜
G, a) particuliers . . . . . . . . . . 379
III.6.3 Mise en place des récurrences . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
III.6.4 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
III.6.5 Les termes σ J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
III.6.6 Germes de Shalika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
III.6.7 Réduction des propositions 6.5 et 6.6 . . . . . . . . . . . . . 388
III.7 Preuves conditionnelles de deux théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . 393
III.7.1 Les termes ρ
˜
G,E
J
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
III.7.2 Les termes ρ
˜
G,E
J , variante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
III.7.3 Les termes σ J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
III.7.4 Preuve conditionnelle des propositions [II] 2.7, [II] 3.8
et du théorème [II] 1.16(i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
III.7.5 Preuve du théorème [II] 1.16(ii) . . . . . . . . . . . . . . . . 405
III.7.6 Preuve des propositions [II] 2.4, [II] 3.5 et du
théorème [II] 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
III.7.7 Preuve de la proposition 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
III.8 Descente des germes de Shalika endoscopiques . . . . . . . . . . . . . 409
III.8.1 La proposition [II] 2.7 dans un cas particulier . . . . . . . . 409
III.8.2 Début de la preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
III.8.3 Calcul de x(¯ s, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
III.8.4 Fin de la preuve de la proposition 8.1 . . . . . . . . . . . . 419
III.8.5 Egalité de germes et de germes endoscopiques . . . . . . . . 421
III.8.6 Preuve de la proposition 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
III.8.7 Preuve de la proposition 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
IV Transfert spectral archimédien
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
IV.1 Théorème de Paley–Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
IV.1.1 La situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
IV.1.2 Rappels sur les ω-représentations . . . . . . . . . . . . . . . 427
IV.1.3 Espaces de Paley–Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
IV.1.4 Enoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
IV.1.5 La transition entre le théorème de Renard
et le théorème 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
IV.1.6 Extension au cas ω = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
IV.2 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
IV.2.1 Quelques considérations formelles . . . . . . . . . . . . . . . 440
IV.2.2 Les espaces I cusp ( ˜
G(R)) et SI cusp ( ˜
G(R)) . . . . . . . . . . . 443
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III.6 Triplets endoscopiques non standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
III.6.1 Apparition des triplets endoscopiques non standard . . . . . 375
III.6.2 Définition de triplets (G, ˜
G, a) particuliers . . . . . . . . . . 379
III.6.3 Mise en place des récurrences . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
III.6.4 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
III.6.5 Les termes σ J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
III.6.6 Germes de Shalika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
III.6.7 Réduction des propositions 6.5 et 6.6 . . . . . . . . . . . . . 388
III.7 Preuves conditionnelles de deux théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . 393
III.7.1 Les termes ρ
˜
G,E
J
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
III.7.2 Les termes ρ
˜
G,E
J , variante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
III.7.3 Les termes σ J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
III.7.4 Preuve conditionnelle des propositions [II] 2.7, [II] 3.8
et du théorème [II] 1.16(i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
III.7.5 Preuve du théorème [II] 1.16(ii) . . . . . . . . . . . . . . . . 405
III.7.6 Preuve des propositions [II] 2.4, [II] 3.5 et du
théorème [II] 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
III.7.7 Preuve de la proposition 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
III.8 Descente des germes de Shalika endoscopiques . . . . . . . . . . . . . 409
III.8.1 La proposition [II] 2.7 dans un cas particulier . . . . . . . . 409
III.8.2 Début de la preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
III.8.3 Calcul de x(¯ s, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
III.8.4 Fin de la preuve de la proposition 8.1 . . . . . . . . . . . . 419
III.8.5 Egalité de germes et de germes endoscopiques . . . . . . . . 421
III.8.6 Preuve de la proposition 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
III.8.7 Preuve de la proposition 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
IV Transfert spectral archimédien
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
IV.1 Théorème de Paley–Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
IV.1.1 La situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
IV.1.2 Rappels sur les ω-représentations . . . . . . . . . . . . . . . 427
IV.1.3 Espaces de Paley–Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
IV.1.4 Enoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
IV.1.5 La transition entre le théorème de Renard
et le théorème 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
IV.1.6 Extension au cas ω = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
IV.2 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
IV.2.1 Quelques considérations formelles . . . . . . . . . . . . . . . 440
IV.2.2 Les espaces I cusp ( ˜
G(R)) et SI cusp ( ˜
G(R)) . . . . . . . . . . . 443