x
Table des matières
VIII.1.7 Fonctions de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 950
VIII.1.8 Une propriété d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952
VIII.1.9 Une variante des intégrales orbitales pondérées
ω-équivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954
VIII.2 Stabilisation de l’application
c θ ˜
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956
VIII.2.1 Fonctions ω ˜
S et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956
VIII.2.2 Les applications
c Sθ
˜
G
˜
M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957
VIII.2.3 Commutation à l’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959
VIII.2.4 Une propriété d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959
VIII.2.5 Une variante des intégrales orbitales pondérées stables . . . 960
VIII.3 L’application endoscopique
c θ
˜
G,E
˜
M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961
VIII.3.1 Définition d’une première application endoscopique . . . . . 961
VIII.3.2 Action d’un groupe d’automorphismes . . . . . . . . . . . . 962
VIII.3.3 Commutation à l’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962
VIII.3.4 Définition de
c θ
˜
G,E
˜
M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963
VIII.3.5 Commutation à l’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964
VIII.3.6
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ) est de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965
VIII.3.7 Une propriété d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967
VIII.3.8 Egalité de deux applications linéaires . . . . . . . . . . . . . 968
VIII.3.9 Variante des intégrales orbitales pondérées elliptiques . . . 968
VIII.4 Les preuves et l’application ˜
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 970
VIII.4.1 Lien entre les intégrales orbitales pondérées stables
ou endoscopiques et leurs variantes . . . . . . . . . . . . . . 970
VIII.4.2 Preuves des propositions 2.2 et 2.5 . . . . . . . . . . . . . . 972
VIII.4.3 Preuve conditionnelle des propositions 3.8 et 3.9 . . . . . . 973
VIII.4.4 L’application ˜
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974
IX Propriétés des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes sur le corps réel
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979
IX.1 Stabilisation d’une famille d’équations différentielles . . . . . . . . . 982
IX.1.1 Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982
IX.1.2 Les équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983
IX.1.3 Propriétés des opérateurs δ
˜
G
˜
M
(z) . . . . . . . . . . . . . . . 985
IX.1.4 Rappels sur l’action adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . 986
IX.1.5 Une application d’Harish-Chandra . . . . . . . . . . . . . . 988
IX.1.6 Preuve de la proposition 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992
IX.1.7 L’opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994
IX.1.8 Variante avec caractère central . . . . . . . . . . . . . . . . 997
IX.2 Endoscopie et opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001
IX.2.1 Version stable des opérateurs différentiels . . . . . . . . . . 1001
Table des matières
VIII.1.7 Fonctions de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 950
VIII.1.8 Une propriété d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952
VIII.1.9 Une variante des intégrales orbitales pondérées
ω-équivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954
VIII.2 Stabilisation de l’application
c θ ˜
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956
VIII.2.1 Fonctions ω ˜
S et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956
VIII.2.2 Les applications
c Sθ
˜
G
˜
M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957
VIII.2.3 Commutation à l’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959
VIII.2.4 Une propriété d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959
VIII.2.5 Une variante des intégrales orbitales pondérées stables . . . 960
VIII.3 L’application endoscopique
c θ
˜
G,E
˜
M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961
VIII.3.1 Définition d’une première application endoscopique . . . . . 961
VIII.3.2 Action d’un groupe d’automorphismes . . . . . . . . . . . . 962
VIII.3.3 Commutation à l’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962
VIII.3.4 Définition de
c θ
˜
G,E
˜
M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963
VIII.3.5 Commutation à l’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964
VIII.3.6
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ) est de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965
VIII.3.7 Une propriété d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967
VIII.3.8 Egalité de deux applications linéaires . . . . . . . . . . . . . 968
VIII.3.9 Variante des intégrales orbitales pondérées elliptiques . . . 968
VIII.4 Les preuves et l’application ˜
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 970
VIII.4.1 Lien entre les intégrales orbitales pondérées stables
ou endoscopiques et leurs variantes . . . . . . . . . . . . . . 970
VIII.4.2 Preuves des propositions 2.2 et 2.5 . . . . . . . . . . . . . . 972
VIII.4.3 Preuve conditionnelle des propositions 3.8 et 3.9 . . . . . . 973
VIII.4.4 L’application ˜
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974
IX Propriétés des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes sur le corps réel
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979
IX.1 Stabilisation d’une famille d’équations différentielles . . . . . . . . . 982
IX.1.1 Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982
IX.1.2 Les équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983
IX.1.3 Propriétés des opérateurs δ
˜
G
˜
M
(z) . . . . . . . . . . . . . . . 985
IX.1.4 Rappels sur l’action adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . 986
IX.1.5 Une application d’Harish-Chandra . . . . . . . . . . . . . . 988
IX.1.6 Preuve de la proposition 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992
IX.1.7 L’opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994
IX.1.8 Variante avec caractère central . . . . . . . . . . . . . . . . 997
IX.2 Endoscopie et opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001
IX.2.1 Version stable des opérateurs différentiels . . . . . . . . . . 1001