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4 D´ ebruitage par m´ ethodes non lin´ eaires
Algorithme 4 Algorithme de Weiss-Nesterov [96]
Entr´ ee : on se donne le nombre maximal d’it´ erations I max et un point initial p 0 P
B ε .
Sortie : ˜
q :“ q I max est une approximation de ¯
q solution de (4.15)
Soit L “ 2}div} 2
2 (la norme de l’op´ erateur de divergence discret).
Soit G ´1 “ 0
for 0 ď k ď I max do
η k “ ∇p´divpp k q ` u d q
q k “ Π B ε
´
p k ´
η k
L
¯
.
G k “ G k´1 `
k ` 1
2
η k , z k “ Π B ε
ˆ
´
G k
L
˙
.
p k`1 “
2
k ` 3
z k `
k ` 1
k ` 3
q k
end for
On obtient alors une approximation de la solution du probl` eme (4.9 ) en
posant
˜
u “ u d ´ εdivp˜ qq .
(4.17)
4.3.3.3 Algorithme primal-dual de Chambolle-Pock [29]
Dans [29], A. Chambolle et T. Pock ont propos´ e un algorithme primal-dual
permettant de r´ esoudre le probl` eme suivant
min
xPX
max
yPY
xLpxq, yy Y ` Gpxq ´ F
˚
pyq ,
(4.18)
o` u X et Y sont des espaces de dimension finie, L est un op´ erateur lin´ eaire
de X dans Y , G et F sont des fonctions propres, convexes et semi-continues
inf´ erieurement (cf annexe) de X dans r0, `8r et Y dans r0, `8r respectivement. La notation x¨, ¨y Y d´ esigne toujours le produit scalaire de Y , } ¨ } Y la
norme euclidienne de Y et F
˚ est la conjugu´ ee de Legendre-Fenchel de F . Ce
probl` eme de point-selle est la formulation primale-duale du probl` eme (primal) non lin´ eaire suivant (voir [42] par exemple pour les notions de probl` eme
primal, dual et point-selle) :
min
xPX
F pLpxqq ` Gpxq .
(4.19)
L’algorithme est le suivant :