4.3 M´ ethodes variationnelles
79
Il faut donc r´ esoudre le probl` eme dual qui s’´ ecrit alors
min
vPK
}εv ` u d }
2
X “ min
pPB ε
} ´ divppq ` u d }
2
X ,
(4.15)
o` u
B ε :“ t p “ pp
1 , p
2
q P X ˆ X| |p i,j | 2 ď ε, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , N, j “ 1, ¨ ¨ ¨ , M u
avec |p i,j | 2 “
b
pp 1
i,j q 2 ` pp 2
i,j q 2 .
La solution du probl` eme primal (4.9) est alors donn´ ee par (4.14) c’est-` a-dire
¯
u “ u d ´ ε¯ v ,
(4.16)
o` u ¯
v “ div ¯
p est solution de (4.15). Nous allons maintenant utiliser l’algorithme (3) pour r´ esoudre (4.15). On pose
Eppq “
1
2
} ´ divppq ` u d }
2
X et Q “ B ε ,
et on choisit dpxq “
1
2
}x}
2
X avec x 0 “ 0 et σ “ 1.
– Etape (a) : η k “ ∇Epp k q “ ∇p´divpp k q ` u d q
– Etape (b) : comme
xη k , y ´ x k y X `
L
2
}y ´ x k }
2
X “
L
2
›
›
›y ´ x k `
η k
L
›
›
›
2
X
´
}η k }
2
X
2L
Il faut calculer la solution de
min
yPB ε
›
›
›y ´ p k `
η k
L
›
›
›
2
X
.
L’´ etape (b) revient ` a calculer le projet´ e q k de p k ´
η k
L
par la projection
euclidienne sur la boule B ε (voir Annexe A.3.5, p. 197) :
q k “ Π B ε
´
p k ´
η k
L
¯
.
– De la mˆ eme fa¸ con, l’´ etape (d) revient ` a calculer
z k “ Π B ε
ˆ
´
G k
L
˙
.
L’algorithme obtenu est alors le suivant :