4.2 Filtrage par EDP non lin´ eaire : le mod` ele de Perona-Malik
65
En effet un filtre de convolution affecte au pixel trait´ e un barycentre des
valeurs des niveaux de gris des pixels situ´ es dans un voisinage. Un pixel dont
le niveau de gris est tr` es diff´ erent des autres va donc affecter le r´ esultat de
la convolution. On pr´ ef` ere, dans ce cas remplacer la valeur du pixel par la
valeur m´ ediane et non la valeur moyenne (par exemple).
gpx, yq “ m´ edianetf pn, mq | pn, mq P Spx, yq u,
o` u Spx, yq est un voisinage de px, yq.
30 10 20
10 250 25
20 25 30
Ñ
bruit
Ó
10 10 20 20
25
25 30 30 250
Ò
m´ ediane
Si le bruit P&S recouvre plus de la moiti´ e de la dimension du filtre, le filtrage
est inefficace. La localisation du bruit ´ etant al´ eatoire il convient de prendre
un voisinage suffisamment grand. La figure 4.2 compare l’effet d’un filtre
m´ edian et d’un filtre moyenne de mˆ eme taille sur l’image bruit´ ee avec un
bruit impulsionnel.
4.2 Filtrage par EDP non lin´ eaire : le mod` ele de
Perona-Malik
Pour am´ eliorer les r´ esultats de filtrage obtenus par l’EDP de la chaleur
(chapitre 3 - section 3.4.3.1), Perona et Malik [80] ont propos´ e de modifier
l’´ equation en y int´ egrant un processus de d´ etection des bords :
$
’
’
’
&
’
’
’
%
Bu
Bt
pt, xq “ div pcp|∇u|q∇uqpt, xq dans s0, T rˆΩ
Bu
Bn
“ 0 sur s0, T rˆBΩ
up0, xq “ u o pxq
@x P Ω
(4.1)
o` u c est une fonction d´ ecroissante de R
` dans R
` .
Si c “ 1, on retrouve l’´ equation de la chaleur. On impose souvent
lim
tÑ`8
cptq “ 0 et cp0q “ 1. Ainsi, dans les r´ egions de faible gradient, l’´ equation
agit essentiellement comme l’EDP de la chaleur, et dans les r´ egions de fort
gradient, la r´ egularisation est stopp´ ee ce qui permet de pr´ eserver les bords.
Un exemple d’une telle fonction c est :
cptq “
1
a
1 ` pt{αq 2
ou cptq “
1
1 ` pt{αq 2 o` u α ą 0.
(4.2)
65
En effet un filtre de convolution affecte au pixel trait´ e un barycentre des
valeurs des niveaux de gris des pixels situ´ es dans un voisinage. Un pixel dont
le niveau de gris est tr` es diff´ erent des autres va donc affecter le r´ esultat de
la convolution. On pr´ ef` ere, dans ce cas remplacer la valeur du pixel par la
valeur m´ ediane et non la valeur moyenne (par exemple).
gpx, yq “ m´ edianetf pn, mq | pn, mq P Spx, yq u,
o` u Spx, yq est un voisinage de px, yq.
30 10 20
10 250 25
20 25 30
Ñ
bruit
Ó
10 10 20 20
25
25 30 30 250
Ò
m´ ediane
Si le bruit P&S recouvre plus de la moiti´ e de la dimension du filtre, le filtrage
est inefficace. La localisation du bruit ´ etant al´ eatoire il convient de prendre
un voisinage suffisamment grand. La figure 4.2 compare l’effet d’un filtre
m´ edian et d’un filtre moyenne de mˆ eme taille sur l’image bruit´ ee avec un
bruit impulsionnel.
4.2 Filtrage par EDP non lin´ eaire : le mod` ele de
Perona-Malik
Pour am´ eliorer les r´ esultats de filtrage obtenus par l’EDP de la chaleur
(chapitre 3 - section 3.4.3.1), Perona et Malik [80] ont propos´ e de modifier
l’´ equation en y int´ egrant un processus de d´ etection des bords :
$
’
’
’
&
’
’
’
%
Bu
Bt
pt, xq “ div pcp|∇u|q∇uqpt, xq dans s0, T rˆΩ
Bu
Bn
“ 0 sur s0, T rˆBΩ
up0, xq “ u o pxq
@x P Ω
(4.1)
o` u c est une fonction d´ ecroissante de R
` dans R
` .
Si c “ 1, on retrouve l’´ equation de la chaleur. On impose souvent
lim
tÑ`8
cptq “ 0 et cp0q “ 1. Ainsi, dans les r´ egions de faible gradient, l’´ equation
agit essentiellement comme l’EDP de la chaleur, et dans les r´ egions de fort
gradient, la r´ egularisation est stopp´ ee ce qui permet de pr´ eserver les bords.
Un exemple d’une telle fonction c est :
cptq “
1
a
1 ` pt{αq 2
ou cptq “
1
1 ` pt{αq 2 o` u α ą 0.
(4.2)