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Jpuq “
ÿ
i,j
}p∇uq i,j },
o` u
}p∇uq i,j } “ }pB x 1 uq i,j , pB x 2 uq i,j q} “
b
pB x 1 uq 2
i,j ` pB x 2 uq 2
i,j .
On utilise la mˆ eme technique que pour le d´ efloutage (section 4.5.4) :
min
uPBV pΩq
Fpuq
def
“
1
2
}Φu ´ f }
2
2 ` αJpuq.
(7.5)
Une condition n´ ecessaire et suffisante pour que u α soit une solution de (7.5)
est
0 P B
ˆ
αJpu α q`
1
2
}Φu α ´ f }
2
X
˙
“ αBJpu α q`Φ
˚
pΦu α ´f q “ αBJpu α q`Φu α ´f.
Ceci est ´ equivalent ` a
u α P BJ
˚
ˆ
f ´ Φu α
α
˙
.
Comme J
˚
“ 1 K o` u K est d´ efini par (4.10), on a avec la proposition 1.4.1 :
u α P B1 K
ˆ
f ´ Φu α
α
˙
ðñ u α “ c
„
f ´ Φu α
α
`
u α
c
´ P K p
f ´ Φu α
α
`
u α
c
q
j
,
o` u c ą 0. Si on choisit (par exemple) c “ α on obtient
f ´ Φu α “ αP K
ˆ
f ´ Φu α ` u α
α
˙
“ P αK pf ´ Φu α ` u α q,
qu’on peut r´ esoudre par exemple par une m´ ethode de descente :
Algorithme 9 Algorithme TV pour l’inpainting
Initialisation : u 0 “ u d , n “ 0. ρ ą 0.
while k ď It max & erreur ą tol´ erance fix´ ee do
Calcul de u n`1 “ P f ru n ` ρ pf ´ P αK pf ` u n qqs
end while
o` u ρ ď 1{4, P K peut-ˆ etre calcul´ e par l’algorithme de Chambolle (1) page
76 ou de Nesterov-Weiss (4) page 80. On peut aussi utiliser l’algorithme de
Chambolle-Pock (5) page 81 pour calculer la solution (voir [29] pour plus de
d´ etails).