144
6 Morphologie math´ ematique
– La r´ eunion est remplac´ ee par l’op´ erateur sup not´ e _ :
A Y B Ñ f _ g “ suppf, gq
– L’intersection est remplac´ ee par l’op´ erateur inf not´ e ^ :
A X B Ñ f ^ g “ infpf, gq
– L’inclusion est remplac´ ee par la relation ! inf´ erieur " :
A Ă B Ñ f ď g
– L’inclusion inverse est remplac´ ee par la relation ! sup´ erieur " :
A Ą B Ñ f ě g
Plus pr´ ecis´ ement, on se donne toujours un ´ el´ ement structurant (binaire) B Ă
R
n que l’on va identifier `
a sa fonction caract´ eristique :
χ B pxq “
"
1 si x P B
0 sinon.
Dans tout ce qui suit f est une fonction de R
n dans R (en pratique, n “ 2 et
f est ` a valeurs dans t0, ¨ ¨ ¨ , 255u). Pour tout a P R
n , on note f a la translat´ ee
de f par a :
@x P R
n
f a pxq “ f px ´ aq .
6.2.1 Dilatation, ´ erosion et gradient morphologique
D´ efinition 6.2.1 Pour tout ´ el´ ement structurant B, la dilatation δ B
et l’´ erosion ε B sont d´ efinies de la mani` ere suivante :
δ B pf q “ sup
bPB
f b et ε B pf q “ inf
bPB
f ´b .
Plus g´ en´ eralement, lorsque l’´ el´ ement structurant est une fonction g ` a support
compact, la dilatation et l’´ erosion sont d´ efinies de la mani` ere suivante
δ g pf qpxq “ sup
yPR n
f pyq ` gpy ´ xq et ε g pf q “ inf
yPR n
f pyq ´ gpy ´ xq .
En particulier, si g “ χ B , on retrouve δ g “ δ B .
La dilatation a tendance ` a ´ eclaircir l’image : cette transformation comble les
vall´ ees et ´ epaissit les pics : elle homog´ en´ eise l’image et tend `
a faire disparaˆ ıtre
les objets sombres. La figure 6.8 illustre le ph´ enom` ene :