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4 D´ ebruitage par m´ ethodes non lin´ eaires
inverse (pas de bruit). Id´ ealement, il faudrait choisir
ˆ
qpωq “
| ˆ bpωq|
|ˆ upωq|
.
En effet, dans ce cas le terme de r´ egularisation }q ˚ u}
2
L 2 p´ enalise exactement
le bruit :
}q ˚ u} L 2 “ }ˆ q ˆ
u} L 2 “ } ˆ b} L 2 “ }b} L 2 .
Le choix le plus courant est de prendre l’inverse du rapport signal sur bruit :
|ˆ q|
2
“
ă | ˆ b|
2
ą
ă |ˆ u| 2 ą
,
o` u x| ˆ b|
2
y (resp. x|ˆ u|
2
y) est la puissance spectrale moyenne de b (resp. u) c’est` a-dire
x| ˆ b|
2
y “
1
|D|
ij
D
| ˆ b|
2
pωq dω ,
o` u D est un domaine de R
2 suffisamment grand et |D| son aire.
Pour impl´ ementer le filtre de Wiener, nous devons ˆ etre en mesure d’estimer
correctement la puissance spectrale de l’image d’origine et du bruit. Pour un
bruit blanc gaussien, la puissance spectrale moyenne est ´ egale `
a la variance
σ
2 du bruit. La puissance spectrale de u est difficile `
a obtenir puisqu’on ne
connaˆ ıt pas u ! Toutefois
f “ h ˚ u ` b ùñ ˆ
f “ ˆ
hˆ u ` ˆ b ùñ | ˆ
f |
2
» | ˆ
h|
2
|ˆ u|
2
` | ˆ b|
2 ,
puisque le bruit b et l’image sont ind´ ependants. Donc, pour un bruit gaussien
|ˆ u|
2
»
| ˆ
f |
2
´ | ˆ b|
2
| ˆ
h| 2
»
| ˆ
f |
2
´ σ
2
| ˆ
h| 2
.
En r´ esum´ e, la fonction de transfert du filtre de Wiener est donn´ ee par
W “
ˆ
h
| ˆ
h| 2 ` |ˆ q| 2
,
(4.21)
avec dans le cas o` u b est un bruit blanc gaussien d’´ ecart-type σ
|ˆ q|
2
“
σ
2
ă | ˆ
h| ą
2
ă | ˆ
f | ą 2 ´σ 2
.
(4.22)
Dans l’exemple suivant, l’image a ´ et´ e flout´ ee par un filtre gaussien de taille
15 et d’´ ecart-type 45. Elle a aussi ´ et´ e r´ efl´ echie pour minimiser les effets de
bord.