4.5 D´ econvolution
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4.5 D´ econvolution
Le flou est souvent mod´ elis´ e par un op´ erateur de convolution qui r´ egularise
tous les contours de l’image. L’op´ eration inverse qui consiste ` a enlever le flou
d’une image s’appelle donc logiquement ! d´ econvolution ". Nous pr´ esentons
ci-dessous quelques m´ ethodes. Pour une ´ etude plus compl` ete on peut se r´ ef´ erer
` a [21]
4.5.1 Approche fr´ equentielle : Filtre de Wiener
Le filtre de Wiener est issu d’une formulation variationnelle de type Tychonov. On cherche `
a minimiser la moyenne du carr´ e de la diff´ erence entre
l’image initiale et l’image restaur´ ee. Ce filtre est tr` es efficace pour traiter des
images d´ egrad´ ees ` a la fois par du flou et du bruit. On consid` ere donc une
image d´ egrad´ ee f “ h ˚ u orig ` b, o` u u orig est l’image originale `
a restaurer, h
un noyau de convolution sym´ etrique positif (r´ eponse impulsionnelle du filtre
flou) et b est en g´ en´ eral un bruit blanc gaussien d’´ ecart-type σ.
On mod´ elise le probl` eme par une formulation au sens des moindres carr´ es
en consid´ erant l’erreur quadratique }f ´ h ˚ u}
2
L 2 que l’on va minimiser.
Le probl` eme de minimisation n’admettant pas n´ ecessairement de solution
convenable (si ˆ
h s’annule par exemple, voir p. 61), on ajoute un terme
de r´ egularisation quadratique de la forme }q ˚ u}
2
L 2 . Le noyau q sera fix´ e
ult´ erieurement en fonction du rapport signal sur bruit (chapitre 3, d´ efinition
3.1.1 p. 34).
En appliquant la transformation de Fourier (Annexe A.1.3) qui `
a une fonction u associe ˆ
u, le probl` eme de minimisation s’´ ecrit alors
min
vPL 2 pRq
} ˆ
f ´ ˆ
hv}
2
2 ` }ˆ qv}
2
2 .
La solution ˆ
u de ce probl` eme est obtenue par d´ erivation :
@v P L
2
pRq
A
ˆ
hˆ u ´ ˆ
f, ˆ
hv
E
L 2
` xˆ q ˆ
u, ˆ
qvy L 2 “ 0.
On obtient alors
ˆ
h
˚
p ˆ
hˆ u ´ ˆ
f q ` |ˆ q|
2 ˆ
u “ 0,
o` u ˆ
h
˚ est l’op´ erateur adjoint de ˆ
h et |ˆ q|
2
“ ˆ
q
˚ ˆ
q, c’est-` a-dire
ˆ
u “
ˆ
h
˚ ˆ
f
| ˆ
h| 2 ` |ˆ q| 2
.
(4.20)
Le principe du filtrage de Wiener est de fixer |ˆ q|
2 en fonction d’une estimation du rapport signal sur bruit. Lorsque q “ 0 on retrouve le filtrage
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4.5 D´ econvolution
Le flou est souvent mod´ elis´ e par un op´ erateur de convolution qui r´ egularise
tous les contours de l’image. L’op´ eration inverse qui consiste ` a enlever le flou
d’une image s’appelle donc logiquement ! d´ econvolution ". Nous pr´ esentons
ci-dessous quelques m´ ethodes. Pour une ´ etude plus compl` ete on peut se r´ ef´ erer
` a [21]
4.5.1 Approche fr´ equentielle : Filtre de Wiener
Le filtre de Wiener est issu d’une formulation variationnelle de type Tychonov. On cherche `
a minimiser la moyenne du carr´ e de la diff´ erence entre
l’image initiale et l’image restaur´ ee. Ce filtre est tr` es efficace pour traiter des
images d´ egrad´ ees ` a la fois par du flou et du bruit. On consid` ere donc une
image d´ egrad´ ee f “ h ˚ u orig ` b, o` u u orig est l’image originale `
a restaurer, h
un noyau de convolution sym´ etrique positif (r´ eponse impulsionnelle du filtre
flou) et b est en g´ en´ eral un bruit blanc gaussien d’´ ecart-type σ.
On mod´ elise le probl` eme par une formulation au sens des moindres carr´ es
en consid´ erant l’erreur quadratique }f ´ h ˚ u}
2
L 2 que l’on va minimiser.
Le probl` eme de minimisation n’admettant pas n´ ecessairement de solution
convenable (si ˆ
h s’annule par exemple, voir p. 61), on ajoute un terme
de r´ egularisation quadratique de la forme }q ˚ u}
2
L 2 . Le noyau q sera fix´ e
ult´ erieurement en fonction du rapport signal sur bruit (chapitre 3, d´ efinition
3.1.1 p. 34).
En appliquant la transformation de Fourier (Annexe A.1.3) qui `
a une fonction u associe ˆ
u, le probl` eme de minimisation s’´ ecrit alors
min
vPL 2 pRq
} ˆ
f ´ ˆ
hv}
2
2 ` }ˆ qv}
2
2 .
La solution ˆ
u de ce probl` eme est obtenue par d´ erivation :
@v P L
2
pRq
A
ˆ
hˆ u ´ ˆ
f, ˆ
hv
E
L 2
` xˆ q ˆ
u, ˆ
qvy L 2 “ 0.
On obtient alors
ˆ
h
˚
p ˆ
hˆ u ´ ˆ
f q ` |ˆ q|
2 ˆ
u “ 0,
o` u ˆ
h
˚ est l’op´ erateur adjoint de ˆ
h et |ˆ q|
2
“ ˆ
q
˚ ˆ
q, c’est-` a-dire
ˆ
u “
ˆ
h
˚ ˆ
f
| ˆ
h| 2 ` |ˆ q| 2
.
(4.20)
Le principe du filtrage de Wiener est de fixer |ˆ q|
2 en fonction d’une estimation du rapport signal sur bruit. Lorsque q “ 0 on retrouve le filtrage