4.4 Filtrage par ondelettes
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4.4 Filtrage par ondelettes
Dans cette section, on va utiliser la th´ eorie des ondelettes pour d´ evelopper
des outils de filtrage. Les filtres lin´ eaires classiques 1D (version spatiale ou
fr´ equentielle) sont des filtres qui privil´ egient certaines fr´ equences et ne permettent donc pas de g´ erer des bruits blancs qui chargent uniform´ ement toutes
les fr´ equences. Dans ce cas les filtres passe-haut et passe-bas issus de l’analyse de Fourier sont inefficaces. De mani` ere g´ en´ erale, les m´ ethodes lin´ eaires ne
sont pas efficaces pour des signaux pr´ esentant des singularit´ es. Les m´ ethodes
par ondelettes ont ´ et´ e d´ evelopp´ ees dans cette optique. Une d´ ecomposition en
ondelettes du signal va fournir des coefficients qui repr´ esentent le signal `
a des
´ echelles diff´ erentes et permettre d’isoler des d´ etails (dont le bruit).
Les bases 2D d’ondelettees sont en g´ en´ eral construites par produits tensoriels de bases d’ondelettes 1D (annexe A.2). Soient ϕ la fonction d’´ echelle et
ψ l’ondelette provenant d’une analyse multi-r´ esolution (AMR) 1D.
Fig. 4.8 Analyse multi-r´ esolution 2D
On a deux constructions possibles :
– Les bases d’ondelettes tensorielles ou anisotropes :
Ψ
j,j
1
k,k 1 px, yq “ ψ j,k pxqψ j 1 ,k 1 pyq, j,j
1
P Z, k, k
1
P Z .
La transform´ ee en ondelettes 2D associ´ ee utilise la transform´ ee en ondelettes rapide (FWT, annexe A.2.3 ) 1D sur les lignes puis sur les colonnes
de l’image.
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4.4 Filtrage par ondelettes
Dans cette section, on va utiliser la th´ eorie des ondelettes pour d´ evelopper
des outils de filtrage. Les filtres lin´ eaires classiques 1D (version spatiale ou
fr´ equentielle) sont des filtres qui privil´ egient certaines fr´ equences et ne permettent donc pas de g´ erer des bruits blancs qui chargent uniform´ ement toutes
les fr´ equences. Dans ce cas les filtres passe-haut et passe-bas issus de l’analyse de Fourier sont inefficaces. De mani` ere g´ en´ erale, les m´ ethodes lin´ eaires ne
sont pas efficaces pour des signaux pr´ esentant des singularit´ es. Les m´ ethodes
par ondelettes ont ´ et´ e d´ evelopp´ ees dans cette optique. Une d´ ecomposition en
ondelettes du signal va fournir des coefficients qui repr´ esentent le signal `
a des
´ echelles diff´ erentes et permettre d’isoler des d´ etails (dont le bruit).
Les bases 2D d’ondelettees sont en g´ en´ eral construites par produits tensoriels de bases d’ondelettes 1D (annexe A.2). Soient ϕ la fonction d’´ echelle et
ψ l’ondelette provenant d’une analyse multi-r´ esolution (AMR) 1D.
Fig. 4.8 Analyse multi-r´ esolution 2D
On a deux constructions possibles :
– Les bases d’ondelettes tensorielles ou anisotropes :
Ψ
j,j
1
k,k 1 px, yq “ ψ j,k pxqψ j 1 ,k 1 pyq, j,j
1
P Z, k, k
1
P Z .
La transform´ ee en ondelettes 2D associ´ ee utilise la transform´ ee en ondelettes rapide (FWT, annexe A.2.3 ) 1D sur les lignes puis sur les colonnes
de l’image.