186
7 Annexe
que du changement d’aire. Leur extension aux membranes avec cisaillement
et aux solides élastiques volumiques permettrait de stabiliser les schémas de
couplages pour l’interaction fluide-structure générique. Les cas où on doit
traiter des structures à forte raideur, comme celui du battement de la tige
élastique montré dans la section 4.3.2, bénéficieraient clairement d’une telle
extension.
Les effets de masse ajoutée dans les problèmes de couplage fluide-structure
sous formulation ALE (Arbitraire Langrangienne Eulérienne) c’est à dire
rappelons-le où le fluide est traité en coordonnées eulériennes et le solide en
coordonnées lagrangiennes, sont connus dans leur formulation en couplage
explicite pour être très sensibles aux effets de masse ajoutée [32]. Celui-ci
s’exprime notamment lorsque la masse volumique de la structure immergée
est proche de celle du fluide, ce qui est souvent le cas dans les applications
en biomécanique, par exemple. Essentiellement il provient du découplage de
l’inertie de la structure et du fluide dans l’explicitation du schéma numérique.
Au prix de nombreux travaux [67, 64, 69] ce problème a pu être contourné tout
en évitant une résolution complètement implicite. Remarquons que dans le cas
du couplage complètement eulérien, la partie inertie est résolue simultanément
pour le solide et le fluide, et ce même dans le cas d’un schéma complètement
explicite. Les effets de masse ajoutée devraient donc être moins importants.
Cependant nous ne connaissons pas de démonstration de cette intuition.
Un autre cas concerne les problèmes de déplacements d’interfaces sur les
variétés, et les problèmes de couplage associés. Dans [101] le déplacement
d’une courbe sur une surface fixe est considéré, afin de minimiser sa longueur.
Plutôt que d’opter pour une représentation eulérienne générale des courbes
dans l’espace introduite à la section 3.4, du fait que la surface porteuse est
fixe, une représentation paramétrique de celle-ci est utilisée. Puis, la courbe
est capturée dans l’espace des paramètres, et l’énergie exprimée grâce à cette
représentation. Ainsi la dimension du problème résolu correspond à celle
de la variété sur laquelle se déplace la courbe, et non de l’espace ambiant.
Au delà de ce problème isopérimétrique sur une variété, l’étude d’énergies
plus générales pour des problèmes d’écoulements surfaciques ou de couplages
fluide-structure dans ce contexte n’a pas été menée à notre connaissance.
Au delà des interactions fluide-structure, on peut faire un lien entre des
problèmes de type transport optimal et la mécanique eulérienne présentée dans
ces pages. En effet, du point de vue théorie de la mesure la formule (3.9) traduit
simplement le fait que la mesure |∇ϕ 0 | −1 (x)δ {ϕ 0 =0} est le push-forward de
|∇ϕ| −1 (x, t)δ {ϕ=0} par x → Y (x, t). Ainsi on pourrait reformuler le problème
de trouver la forme d’équilibre d’une membrane immergée, représentée par la
Level Set ϕ, comme celui minimisant l’énergie élastique (3.12) parmi toutes
les fonctions ϕ vérifiant Y #|∇ϕ| −1 δ {ϕ=0} = |∇ϕ 0 | −1 δ {ϕ 0 =0} pour un certain
champ Y . A la suite de [22], cela peut se formuler comme l’état stationnaire
du problème
7 Annexe
que du changement d’aire. Leur extension aux membranes avec cisaillement
et aux solides élastiques volumiques permettrait de stabiliser les schémas de
couplages pour l’interaction fluide-structure générique. Les cas où on doit
traiter des structures à forte raideur, comme celui du battement de la tige
élastique montré dans la section 4.3.2, bénéficieraient clairement d’une telle
extension.
Les effets de masse ajoutée dans les problèmes de couplage fluide-structure
sous formulation ALE (Arbitraire Langrangienne Eulérienne) c’est à dire
rappelons-le où le fluide est traité en coordonnées eulériennes et le solide en
coordonnées lagrangiennes, sont connus dans leur formulation en couplage
explicite pour être très sensibles aux effets de masse ajoutée [32]. Celui-ci
s’exprime notamment lorsque la masse volumique de la structure immergée
est proche de celle du fluide, ce qui est souvent le cas dans les applications
en biomécanique, par exemple. Essentiellement il provient du découplage de
l’inertie de la structure et du fluide dans l’explicitation du schéma numérique.
Au prix de nombreux travaux [67, 64, 69] ce problème a pu être contourné tout
en évitant une résolution complètement implicite. Remarquons que dans le cas
du couplage complètement eulérien, la partie inertie est résolue simultanément
pour le solide et le fluide, et ce même dans le cas d’un schéma complètement
explicite. Les effets de masse ajoutée devraient donc être moins importants.
Cependant nous ne connaissons pas de démonstration de cette intuition.
Un autre cas concerne les problèmes de déplacements d’interfaces sur les
variétés, et les problèmes de couplage associés. Dans [101] le déplacement
d’une courbe sur une surface fixe est considéré, afin de minimiser sa longueur.
Plutôt que d’opter pour une représentation eulérienne générale des courbes
dans l’espace introduite à la section 3.4, du fait que la surface porteuse est
fixe, une représentation paramétrique de celle-ci est utilisée. Puis, la courbe
est capturée dans l’espace des paramètres, et l’énergie exprimée grâce à cette
représentation. Ainsi la dimension du problème résolu correspond à celle
de la variété sur laquelle se déplace la courbe, et non de l’espace ambiant.
Au delà de ce problème isopérimétrique sur une variété, l’étude d’énergies
plus générales pour des problèmes d’écoulements surfaciques ou de couplages
fluide-structure dans ce contexte n’a pas été menée à notre connaissance.
Au delà des interactions fluide-structure, on peut faire un lien entre des
problèmes de type transport optimal et la mécanique eulérienne présentée dans
ces pages. En effet, du point de vue théorie de la mesure la formule (3.9) traduit
simplement le fait que la mesure |∇ϕ 0 | −1 (x)δ {ϕ 0 =0} est le push-forward de
|∇ϕ| −1 (x, t)δ {ϕ=0} par x → Y (x, t). Ainsi on pourrait reformuler le problème
de trouver la forme d’équilibre d’une membrane immergée, représentée par la
Level Set ϕ, comme celui minimisant l’énergie élastique (3.12) parmi toutes
les fonctions ϕ vérifiant Y #|∇ϕ| −1 δ {ϕ=0} = |∇ϕ 0 | −1 δ {ϕ 0 =0} pour un certain
champ Y . A la suite de [22], cela peut se formuler comme l’état stationnaire
du problème