220
18 Chebyshev Polynomials
hyperbolic functions. These equations can be generalized to the complex domain
via conformal mapping. For details see [2]. With z ∈ C the equations read
T n (z) =
1
2
(z +
(z + 1)(z − 1) )
n
+ (z −
(z + 1)(z − 1) )
n
,
(18.11a)
U n−1 (z) =
1
2
(z +
√
(z + 1)(z − 1) ) n − (z −
√
(z + 1)(z − 1) ) n
√
(z + 1)(z − 1)
(18.11b)
V n (z) =
(z +
√
(z + 1)(z − 1) ) n+1 + (z −
√
(z + 1)(z − 1) ) −n
z +
√
(z − 1)(z + 1) + 1
and (18.11c)
W n (z) =
(z +
√
(z + 1)(z − 1) ) n+1 − (z −
√
(z + 1)(z − 1) ) −n
z +
√
(z − 1)(z + 1) − 1
.
(18.11d)
Even for non-integer values of n Eq. (18.11) gives the same results as the
corresponding hypergeometric functions.
The Chebyshev polynomials are related to the Jacobi polynomials [3] via
T n (x) = P
(−
1
2 ,−
1
2 )
n
(x)/P
(−
1
2 ,−
1
2 )
n
(1),
(18.12a)
U n (x) = (n + 1)P
(
1
2 ,
1
2 )
n
(x)/P
(
1
2 ,
1
2 )
n
(1),
(18.12b)
V n (x) = (2n + 1)P
(
1
2 ,−
1
2 )
n
(x)/P
(
1
2 ,−
1
2 )
n
(1) and
(18.12c)
W n (x) = P
(−
1
2 ,
1
2 )
n
(x)/P
(−
1
2 ,
1
2 )
n
(1).
(18.12d)
Thus, from Eq. (15.25) we get the Chebyshev functions
T a (z) = 2 F 1 (−a, a;
1
2
;
1 − z
2
),
(18.13a)
U a (z) = (a + 1) 2 F 1 (−a, a + 2;
3
2
;
1 − z
2
),
(18.13b)
V a (z) = 2 F 1 (−a, 1 + a;
1
2
;
1 − z
2
) and
(18.13c)
W a (z) = (2a + 1) 2 F 1 (−a, 1 + a;
3
2
;
1 − z
2
),
(18.13d)