10.7 Variational Problems of Functionals with Series-Type …
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+ uδ A m
× B + u A m
× δ B)
= ∇ · (δu A m
× B n
· D) − D · ∇ n
· A m
× Bδu
− (−1)
m u[( D · ∇) m m
× B
T
]( D · ∇) m+1,n n
· δ A
− (−1)
m u A (n − m)·
m× D · ∇ m
· δ B
(4)
E n − 1
· ∇ · δu A m
× B = ∇ · (δu A m
× B n − 1
· E) − E∇ n
· ( A m
× Bδu + uδ A m
× B + u A m
× δ B)
= ∇ · (δu A m
× B n − 1
· E) − E∇ n
· A m
× Bδu
− (−1) m u[(E∇) m m
× B T ](E∇) m+1,n n
· δ A
− (−1) m u A (n − m)·
m× E∇ m
· δ B
(5)
F n
· ∇ × δu A m
× B = ∇ ·
δu A m
× B ×
(n − 1)· F
+ F × ∇ n
· ( A m
× Bδu + uδ A m
× B + u A m
× δ B)
= ∇ ·
δu A m
× B ×
(n − 1)· F
+ F × ∇ n
· A m
× Bδu
+ (−1)
m u[(F × ∇) m m
× B
T )(F × ∇) m+1,n n
· δ A
+ (−1)
m u A (n − m)·
m× F × ∇ m
· δ B
(6)
Substituting Eqs. (3)–(6) into Eq. (2), we obtain
δ J =
V
∂ F
∂u
+ (C − D · ∇ − E∇ + F × ∇) n
· A m
× B
δu
+
∂ F
∂ A
+ (−1) m u[C m m
× B T C m+1,n − ( D · ∇) m m
× B T ( D · ∇) m+1,n
− (E∇) m m
× B T (E∇) m+1,n + (F × ∇) m m
× B T (F × ∇) m+1,n ]
n
· δ A
+
∂ F
∂ B
+ (−1) m u A (n − m)·
m× (C − D · ∇ − E∇ + F × ∇)
m
· δ B
dV
+
V
∇ · (δu A m
× B n
· D) + ∇ · (δu A m
× B n − 1
· E) + ∇ ·
δu A m
× B ×
(n − 1)· F
dV (7)
The Euler equations of the functional are