10.6 Variational Problems of Functionals with Parallel-Type Inner …
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∂ F
∂ A · ∇
n − 1
· δ A · ∇ = ∇ ·
∂ F
∂ A · ∇
n − 1
· δ A
−
∂ F
∂ A · ∇
∇ n
· δ A
(10.6.6)
Equations (10.6.5) and (10.6.6) are the precisely needed results.
Let A and B be both the tensors of order n, A = A j 1 j 2 ··· j n e j 1 e j 2 · · · e j n , B =
B k 1 k 2 ···k n e k 1 e k 2 · · · e k n , do one time cross product and n − 1 time inner product, then
taking the divergence, making use of the mixed product formula of trivector a · (b ×
c) = b · (c × a) = c · (a × b), we get
∇ · [A ×
(n − 1)· B] = −∇ · [B
×
(n − 1)· A] = ∂ i e i · [A j 1 j 2 ··· jn e j 1 e j 2 · · · e jn
×
(n − 1)· B k 1 k 2 ···kn e k 1 e k 2 · · · e kn ]
= (A j 1 j 2 ··· jn ,i B k 1 k 2 ···kn + A j 1 j 2 ··· jn B k 1 k 2 ···kn ,i )e i · (e j 1 × e k 1 )(e j 2 · e k 2 ) · · · (e jn · e kn )
= A j 1 j 2 ··· jn ,i B k 1 k 2 ···kn e i × e j 1 e j 2 · · · e jn
n
· e k 1 e k 2 · · · e kn
+ A j 1 j 2 ··· jn B k 1 k 2 ···kn ,i (−e j 1 e j 2 · · · e jn
n
· e i × e k 1 e k 2 · · · e kn )
= ∂ i e i × A j 1 j 2 ··· jn e j 1 e j 2 · · · e jn
n
· B k 1 k 2 ···kn e k 1 e k 2 · · · e kn
− A j 1 j 2 ··· jn e j 1 e j 2 · · · e jn
n
· ∂ i e i × B k 1 k 2 ···kn e k 1 e k 2 · · · e kn
= ∇ × A n
· B − A n
· ∇ × B = B n
· ∇ × A − ∇ × B n
· A
(10.6.7)
In Eq. (10.6.7), change A into δ A, let B =
∂ F
∂∇× A
, then the variational formula of
the left rotation of A could be obtained
∂ F
∂∇ × A
n
· ∇ × δ A = ∇ ·
δ A ×
(n − 1)·
∂ F
∂∇ × A
+
∇ ×
∂ F
∂∇ × A
n
· δ A
(10.6.8)
Do n − 1 time inner product and one time cross product of A and B, then taking
the divergence, we get
∇ · [A (n − 1)·
×
B] = −∇ · [B (n − 1)·
×
A] = ∂ i e i · [A j 1 j 2 ··· jn e j 1 e j 2 · · · e jn
(n − 1)·
×
B k 1 k 2 ···kn e k 1 e k 2 · · · e kn ]
= (A j 1 j 2 ··· jn ,i B k 1 k 2 ···kn + A j 1 j 2 ··· jn B k 1 k 2 ···kn ,i )e i · (e jn × e kn )(e j 1 · e k 1 ) · · · (e j n−1 · e k n−1 )
= A j 1 j 2 ··· jn ,i B k 1 k 2 ···kn (−e j 1 e j 2 · · · e jn × e i
n
· e k 1 e k 2 · · · e kn )
+ A j 1 j 2 ··· jn B k 1 k 2 ···kn ,i e j 1 e j 2 · · · e jn
n
· e k 1 e k 2 · · · e kn × e i
= −A j 1 j 2 ··· jn e j 1 e j 2 · · · e jn × ∂ i e i
n
· B k 1 k 2 ···kn e k 1 e k 2 · · · e kn
+ A j 1 j 2 ··· jn e j 1 e j 2 · · · e jn
n
· B k 1 k 2 ···kn e k 1 e k 2 · · · e kn × ∂ i e i
= −A × ∇ n
· B + A n
· B × ∇ = −B n
· A × ∇ + B × ∇ n
· A
(10.6.9)
In Eq. (10.6.9), change A into δ A, let B =
∂ F
∂ A×∇
, then the variational formula of
the right rotation of A can be obtained
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∂ F
∂ A · ∇
n − 1
· δ A · ∇ = ∇ ·
∂ F
∂ A · ∇
n − 1
· δ A
−
∂ F
∂ A · ∇
∇ n
· δ A
(10.6.6)
Equations (10.6.5) and (10.6.6) are the precisely needed results.
Let A and B be both the tensors of order n, A = A j 1 j 2 ··· j n e j 1 e j 2 · · · e j n , B =
B k 1 k 2 ···k n e k 1 e k 2 · · · e k n , do one time cross product and n − 1 time inner product, then
taking the divergence, making use of the mixed product formula of trivector a · (b ×
c) = b · (c × a) = c · (a × b), we get
∇ · [A ×
(n − 1)· B] = −∇ · [B
×
(n − 1)· A] = ∂ i e i · [A j 1 j 2 ··· jn e j 1 e j 2 · · · e jn
×
(n − 1)· B k 1 k 2 ···kn e k 1 e k 2 · · · e kn ]
= (A j 1 j 2 ··· jn ,i B k 1 k 2 ···kn + A j 1 j 2 ··· jn B k 1 k 2 ···kn ,i )e i · (e j 1 × e k 1 )(e j 2 · e k 2 ) · · · (e jn · e kn )
= A j 1 j 2 ··· jn ,i B k 1 k 2 ···kn e i × e j 1 e j 2 · · · e jn
n
· e k 1 e k 2 · · · e kn
+ A j 1 j 2 ··· jn B k 1 k 2 ···kn ,i (−e j 1 e j 2 · · · e jn
n
· e i × e k 1 e k 2 · · · e kn )
= ∂ i e i × A j 1 j 2 ··· jn e j 1 e j 2 · · · e jn
n
· B k 1 k 2 ···kn e k 1 e k 2 · · · e kn
− A j 1 j 2 ··· jn e j 1 e j 2 · · · e jn
n
· ∂ i e i × B k 1 k 2 ···kn e k 1 e k 2 · · · e kn
= ∇ × A n
· B − A n
· ∇ × B = B n
· ∇ × A − ∇ × B n
· A
(10.6.7)
In Eq. (10.6.7), change A into δ A, let B =
∂ F
∂∇× A
, then the variational formula of
the left rotation of A could be obtained
∂ F
∂∇ × A
n
· ∇ × δ A = ∇ ·
δ A ×
(n − 1)·
∂ F
∂∇ × A
+
∇ ×
∂ F
∂∇ × A
n
· δ A
(10.6.8)
Do n − 1 time inner product and one time cross product of A and B, then taking
the divergence, we get
∇ · [A (n − 1)·
×
B] = −∇ · [B (n − 1)·
×
A] = ∂ i e i · [A j 1 j 2 ··· jn e j 1 e j 2 · · · e jn
(n − 1)·
×
B k 1 k 2 ···kn e k 1 e k 2 · · · e kn ]
= (A j 1 j 2 ··· jn ,i B k 1 k 2 ···kn + A j 1 j 2 ··· jn B k 1 k 2 ···kn ,i )e i · (e jn × e kn )(e j 1 · e k 1 ) · · · (e j n−1 · e k n−1 )
= A j 1 j 2 ··· jn ,i B k 1 k 2 ···kn (−e j 1 e j 2 · · · e jn × e i
n
· e k 1 e k 2 · · · e kn )
+ A j 1 j 2 ··· jn B k 1 k 2 ···kn ,i e j 1 e j 2 · · · e jn
n
· e k 1 e k 2 · · · e kn × e i
= −A j 1 j 2 ··· jn e j 1 e j 2 · · · e jn × ∂ i e i
n
· B k 1 k 2 ···kn e k 1 e k 2 · · · e kn
+ A j 1 j 2 ··· jn e j 1 e j 2 · · · e jn
n
· B k 1 k 2 ···kn e k 1 e k 2 · · · e kn × ∂ i e i
= −A × ∇ n
· B + A n
· B × ∇ = −B n
· A × ∇ + B × ∇ n
· A
(10.6.9)
In Eq. (10.6.9), change A into δ A, let B =
∂ F
∂ A×∇
, then the variational formula of
the right rotation of A can be obtained