5.4 Geodesics as Self-parallel Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5 Geodesics as Extremum Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.6 Affine Connections, Abstract View . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 Tensor Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1 Covariant Derivatives, Component View . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2 Covariant Derivatives, Abstract View . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3 The Divergence and Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Part III General Relativity
7 Classical Gravity and Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.1 Newtonian Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.2 The Equivalence Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3 Gravity as a Geometric Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8 Curved Space and Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.1 Curved Space and the Riemann Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2 Symmetries of the Riemann Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.3 The Einstein Equations for the Gravitational Field
in Vacuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.4 The Non-vacuum Field Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.5 The Intrinsic Signature of Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9 Spherically Symmetric Gravitational Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.1 The Schwarzschild Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.2 Orbit of a Planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.3 Deflection of Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.4 Observational Tests of General Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10 Black Holes and Gravitational Collapse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.1 Schwarzschild Black Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.2 Null Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.3 Stellar Evolution, Very Briefly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.4 Collapse of a Dust Star . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.5 Spinning Black Holes and the Kerr Metric . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.6 Black Holes in the Real Universe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.7 Hawking Radiation from a Black Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11 Linearized General Relativity and Gravitational Waves . . . . . . . . . 159
11.1 The Field Equations of the Linearized Theory . . . . . . . . . . . . . 159
11.2 The Classical Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.3 Gravitational Plane Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.4 Motion of Test Bodies in Gravitational Waves . . . . . . . . . . . . . 168
11.5 Gravitational Wave Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
11.6 Detection of Gravitational Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
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Contents
5.5 Geodesics as Extremum Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.6 Affine Connections, Abstract View . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 Tensor Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1 Covariant Derivatives, Component View . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2 Covariant Derivatives, Abstract View . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3 The Divergence and Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Part III General Relativity
7 Classical Gravity and Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.1 Newtonian Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.2 The Equivalence Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3 Gravity as a Geometric Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8 Curved Space and Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.1 Curved Space and the Riemann Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2 Symmetries of the Riemann Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.3 The Einstein Equations for the Gravitational Field
in Vacuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.4 The Non-vacuum Field Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.5 The Intrinsic Signature of Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9 Spherically Symmetric Gravitational Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.1 The Schwarzschild Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.2 Orbit of a Planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.3 Deflection of Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.4 Observational Tests of General Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10 Black Holes and Gravitational Collapse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.1 Schwarzschild Black Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.2 Null Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.3 Stellar Evolution, Very Briefly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.4 Collapse of a Dust Star . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.5 Spinning Black Holes and the Kerr Metric . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.6 Black Holes in the Real Universe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.7 Hawking Radiation from a Black Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11 Linearized General Relativity and Gravitational Waves . . . . . . . . . 159
11.1 The Field Equations of the Linearized Theory . . . . . . . . . . . . . 159
11.2 The Classical Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.3 Gravitational Plane Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.4 Motion of Test Bodies in Gravitational Waves . . . . . . . . . . . . . 168
11.5 Gravitational Wave Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
11.6 Detection of Gravitational Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
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