Contents
xi
4.2.3
Runge–Kutta Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.2.4
Newmark’s β-Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3
Numerical Evaluation of Duhamel’s Integral . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.3.1
Numerical Evaluation of Damped System
by Duhamel’s Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.4
Numerical Computation in Frequency Domain . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4.1
Discrete Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4.2
Fast Fourier Transform (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5 Vibration of Two Degrees of Freedom System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.2
Free Vibration of Undamped Two Degrees of Freedom
Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.3
Torsional Vibration of Two Degrees of Freedom System . . . . . . 159
5.4
Forced Vibration of Two Degrees of Freedom Undamped
System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.5
Vibration Absorber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.6
Free Vibration of Two Degrees of Freedom System
with Viscous Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.7
Coordinate Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.8
Free Vibration of Damped Two Degrees of Freedom
System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6 Free Vibration of Multiple Degrees of Freedom System . . . . . . . . . . . 183
6.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.2
Equations of Motion of MDF Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.2.1
Mass Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.2.2
The Stiffness Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.2.3
The Damping Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.2.4
Loading Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.3
Free Undamped Vibration Analysis of MDF Systems . . . . . . . . . 186
6.4
Orthogonality Relationship . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.5
Eigenvalue Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.6
Determination of Absolute Displacement of Free
Vibration of MDF Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.6.1
Normalisation of Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.7
Eigenvalue Solution Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.8
Dunkerley’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.9
Holzer Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.10 Transfer Matrix Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.10.1 Transfer Matrices as a Means of Elimination . . . . . . . 207
6.11 Myklestad Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.12 Stodola’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.13 Matrix Deflation Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225