4.3 Observer Sky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Observer Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.1 Bundle of Geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.2 Caustic Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.3 Induced Coordinate Transformations
on C from LLTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5 Full-Sky Sachs Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6 Transformation Rule Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7 Observables from Localized Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.7.1 Distances and Weak Lensing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.7.2 Volume and Source Number Density . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.8 Observer Space-Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5 General-Relativistic Matrix Kinetic Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1 Collisions and the Microscopic Space-Time . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Quantum Superposition and Matrix Distributions . . . . . . . . . . . . 86
5.3 Matrix Distribution from a QFT Density Matrix . . . . . . . . . . . . . 91
5.4 Expressing q and the Entropy Current in Terms of f ss 0 . . . . . . . . 95
5.5 The Collision Term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.6 Comparison with the Literature on the Collision Term . . . . . . . . 106
5.7 Exact Conservation Equations of the Collisional Equation . . . . . . 108
5.8 Liouville-Transported Wave-Functions and Tensor
Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.8.1 Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.8.2 Dirac Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.9 Intrinsic Moment Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.10 Example: The Photon-Electron-Proton Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.11 Cosmic Microwave Background Observables . . . . . . . . . . . . . . . 124
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.1 Observer Frames Are Orthonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2 Active and Passive Diffeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.3 Compact Matrix Formulation of the Generalized
BUU Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
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Contents
4.4 Observer Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.1 Bundle of Geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.2 Caustic Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.3 Induced Coordinate Transformations
on C from LLTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5 Full-Sky Sachs Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6 Transformation Rule Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7 Observables from Localized Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.7.1 Distances and Weak Lensing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.7.2 Volume and Source Number Density . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.8 Observer Space-Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5 General-Relativistic Matrix Kinetic Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1 Collisions and the Microscopic Space-Time . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Quantum Superposition and Matrix Distributions . . . . . . . . . . . . 86
5.3 Matrix Distribution from a QFT Density Matrix . . . . . . . . . . . . . 91
5.4 Expressing q and the Entropy Current in Terms of f ss 0 . . . . . . . . 95
5.5 The Collision Term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.6 Comparison with the Literature on the Collision Term . . . . . . . . 106
5.7 Exact Conservation Equations of the Collisional Equation . . . . . . 108
5.8 Liouville-Transported Wave-Functions and Tensor
Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.8.1 Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.8.2 Dirac Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.9 Intrinsic Moment Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.10 Example: The Photon-Electron-Proton Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.11 Cosmic Microwave Background Observables . . . . . . . . . . . . . . . 124
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.1 Observer Frames Are Orthonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2 Active and Passive Diffeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.3 Compact Matrix Formulation of the Generalized
BUU Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
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Contents