Contents
1 Introduction and Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Measurement and Observer Frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Advantages of the Tetrad Formulation of Differential
Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 A Word on the Other Common Interpretation of ^ e a . . . . . . . . . . 17
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Mathematical Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 General Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Space-Time Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1 Tetrad Field and Local Lorentz Transformations . . . . . . . 23
3.2.2 Connections and Curvatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.3 Tetrad General Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.4 Spinors and Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.5 Parallel-Transported Tetrads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 World-Line Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 Geometrical Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.2 Action for Point-Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.3 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Phase Space Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1 Geometrical Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.2 On-Shell Phase Space and Liouville Operator . . . . . . . . . 45
3.4.3 Distribution Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Observer Space-Time Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1 Fundamental Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Redshift Parametrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
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1 Introduction and Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Measurement and Observer Frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Advantages of the Tetrad Formulation of Differential
Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 A Word on the Other Common Interpretation of ^ e a . . . . . . . . . . 17
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Mathematical Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 General Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Space-Time Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1 Tetrad Field and Local Lorentz Transformations . . . . . . . 23
3.2.2 Connections and Curvatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.3 Tetrad General Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.4 Spinors and Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.5 Parallel-Transported Tetrads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 World-Line Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 Geometrical Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.2 Action for Point-Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.3 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Phase Space Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1 Geometrical Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.2 On-Shell Phase Space and Liouville Operator . . . . . . . . . 45
3.4.3 Distribution Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Observer Space-Time Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1 Fundamental Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Redshift Parametrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
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