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Chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires
3.1 Introduction
Les mod` eles de chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires pr´ esent´ es dans cette section sont une extension naturelle des mod` eles markoviens ´ etudi´ es dans la
premi` ere partie de ce chapitre. Les premiers mod` eles de ce type sont semble-t-il
apparus dans la litt´ erature du traitement du signal, et plus particuli` erement
en filtrage non lin´ eaire ([36, 38]). L’id´ ee de d´ epart est la suivante. Les lois
conditionnelles des ´ etats X n du signal par rapports aux observations re¸ cues
(Y p ) 0≤p
Ces mesures sont appel´ ees les pr´ edicteurs optimaux. Elles peuvent ˆ etre calcul´ ees de fa¸ cons r´ ecursives suivant une ´ equation de la forme
η n = Φ n (η n−1 )
o` u Φ n d´ esigne une transformation plus ou moins complexe sur l’espace des distributions sur l’espace d’´ etat du signal. Bien ´ evidemment, ces ´ equations sont
en g´ en´ eral impossible ` a r´ esoudre explicitement. Pour utiliser des m´ ethodes de
simulation de type Monte Carlo, l’id´ ee naturelle est d’interpr´ eter ces mesures
η n comme les lois d’une chaˆ ıne de Markov X n sur l’espace d’´ etat du signal :
η n = Loi(X n )
Ces chaˆ ınes de Markov X n ne sont pas uniques. On peut choisir par exemple
des suites de variables ind´ ependantes X n de lois
η n = Φ n (η n−1 ) avec η n−1 = Loi(X n−1 )
On peut aussi chercher `
a ´ ecrire les transformations Φ n comme un transport
de mesures markoviennes
P. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_3,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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Chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires
3.1 Introduction
Les mod` eles de chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires pr´ esent´ es dans cette section sont une extension naturelle des mod` eles markoviens ´ etudi´ es dans la
premi` ere partie de ce chapitre. Les premiers mod` eles de ce type sont semble-t-il
apparus dans la litt´ erature du traitement du signal, et plus particuli` erement
en filtrage non lin´ eaire ([36, 38]). L’id´ ee de d´ epart est la suivante. Les lois
conditionnelles des ´ etats X n du signal par rapports aux observations re¸ cues
(Y p ) 0≤p
Ces mesures sont appel´ ees les pr´ edicteurs optimaux. Elles peuvent ˆ etre calcul´ ees de fa¸ cons r´ ecursives suivant une ´ equation de la forme
η n = Φ n (η n−1 )
o` u Φ n d´ esigne une transformation plus ou moins complexe sur l’espace des distributions sur l’espace d’´ etat du signal. Bien ´ evidemment, ces ´ equations sont
en g´ en´ eral impossible ` a r´ esoudre explicitement. Pour utiliser des m´ ethodes de
simulation de type Monte Carlo, l’id´ ee naturelle est d’interpr´ eter ces mesures
η n comme les lois d’une chaˆ ıne de Markov X n sur l’espace d’´ etat du signal :
η n = Loi(X n )
Ces chaˆ ınes de Markov X n ne sont pas uniques. On peut choisir par exemple
des suites de variables ind´ ependantes X n de lois
η n = Φ n (η n−1 ) avec η n−1 = Loi(X n−1 )
On peut aussi chercher `
a ´ ecrire les transformations Φ n comme un transport
de mesures markoviennes
P. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_3,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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