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2 Chaˆ ınes de Markov abstraites
Comme pr´ ec´ edemment, dans le cas de probl` emes pos´ es sous contraintes
(2.9), l’algorithme prend la forme suivante
X n+1 = proj F (X n + γ n (a − U(X n , Z n+1 )))
Pour plus de d´ etails sur ces algorithmes, nous renvoyons le lecteur aux ouvrages [58, 108, 109].
Exercice 2.2.5 Soit U : R −→ R la fonction de r´ epartition d’une variable
al´ eatoire r´ eelle Y
U (x) = P (Y ≤ x) = E (1 Y ≤x ) .
L’objectif de cet exercice est d’estimer num´ eriquement la m´ ediane x
∈ R de
cette distribution. On rappelle que la m´ ediane est le point x
∈ R s´ eparant en
deux parties les masses de probabilit´ es d’une variable r´ eelle
P (Y ≤ x
) =
1
2
= P (Y > x
) .
Donner des conditions suffisantes sur la fonction de r´ epartition pour que la
condition la condition (2.8) soit satisfaite (pour a = 1/2 et x a = x
).
Soit U : R×R −→ R la fonction d´ efinie par U (x, y) = 1 ]−∞,x] (y).. Montrer
que
U (x) = E (U (x, Y )) .
Construire un algorithme de Robbins-Monro permettant d’approcher cette
m´ ediane. On pourra concr´ etiser cette ´ etude avec des exemples concrets de
mesures de probabilit´ es usuelles, et rechercher d’autres niveaux
P (Y ≤ x a ) = a
pour des valeurs du param` etre a, plus ou moins grandes.