2.2 Quelques illustrations
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Plus formellement, les populations d’individus sont donn´ ees par des N -
uplets
X n = (X
i
n ) 1≤i≤N ∈ E
N
n
et
X n = (
X
i
n ) 1≤i≤N ∈ E
N
n
o` u E
N
n d´ esigne l’espace produit (E n × . . . × E n ), avec N termes.
Dans ce contexte, les transitions de s´ election/mutation s’expriment entre
des ´ etats non homog` enes :
X n ∈ E
N
n
s´ election
− − − − − −→
X n ∈ E
N
n
mutation
− − − − − −→ X n+1 ∈ E
N
n+1
Supposons que les s´ elections ` a chaque instant n soient aussi dict´ ees par
des potentiel non homog` enes
G n : x n ∈ E n → G n (x n ) ∈ [0, 1]
Dans ce cas, le m´ ecanisme de s´ election dans E n , s’exprime sous la forme
suivante :
X
i
n =
X
i
n avec probabilit´ e G n (X
i
n )
˜
X
i
n avec probabilit´ e 1 − G n (X
i
n )
o` u ˜
X
i
n d´ esigne une v.a. de loi
N
j=1
G n (X
j
n )
N
k=1 G n (X k
n )
δ X
j
n
Les individus ainsi s´ electionn´ es
X
i
n vivent dans l’espace E n .
Durant la mutation, ces individus passent de l’´ etat E n vers un nouvel ´ etat
E n+1 , selon des transitions de probabilit´ es M n+1 (x n , dx n+1 ) de E n vers E n+1 .
Autrement dit, nous avons
X
i
n (∈ E n ) X
i
n+1 (∈ E n+1 )
o` u X
i
n+1 d´ esigne une v.a. de loi M n+1 (
X
i
n , .). Ces nouveaux individus sont
alors s´ el´ ectionn´ es en fonction d’un potentiel G n+1 sur E n+1 , puis ils mutent
de E n+1 vers E n+2 selon une transition markovienne de E n+1 vers E n+2 , etc.
Mod` eles trajectoriels :
Dans ce qui pr´ ec´ ede, nous n’avons pas pr´ ecis´ e la nature des espaces E n ,
ni a fortiori celle des transitions M n (x n−1 , dx n ). Tout ceci semble donc bien
abstrait ! Revenons donc sur terre en supposant que les espaces E n sont donn´ es
par des espaces produits