464
Solutions
σ∈G N
sgn(σ)
1≤i≤N
(y i )
σ(i)−1 = det
⎛
⎜
⎝
1 y 1 . . . y
N −1
1
. . .
. . .
. . .
. . .
1 y N . . . y
N −1
N
⎞
⎟
⎠
=
1≤i (y j − y i )
La fin de la d´ emonstration est ´ el´ ementaire.
5.7.1
1. Le r´ esultat d´ ecoule d’une int´ egration par parties
d
dt η t (f )
=
f (x)
d
dt p t (x) dx
= η t (L ηt (f )) =
p t (x)
b(x, η t ) ∂ x (f )(x) +
1
2 σ(x, η t ) ∂ x,x (f )(x)
dx
=
f (x)
−∂ x (b(x, η t ) p t ) +
1
2 ∂ x,x (σ(x, η t ) p t )
dx
2. On a
b(x, η t ) = V t (x) et ∂ x V t = −p t
Par cons´ equent
∂ t p t = −∂ t ∂ x V t = −∂ x ∂ t V t
= L
ηt (p t ) = ∂ x
V t ∂ x V t −
σ
2
2
∂ x,x V t
Au sens des distributions, nous avons donc
∂ t V t = −V t ∂ x V t +
σ
2
2
∂ x,x V t
3. On a
V t = −σ
2 ∂ x q t
q t
⇒ V t ∂ x q t + q t ∂ x V t = −σ
2 ∂ x,x q t
⇒ V
2
t − σ
2 ∂ x V t = σ
4 ∂ x,x q t
q t
⇒ 2V t ∂ x V t − σ
2 ∂ x,x V t = σ
4 ∂ x
∂ x,x q t
q t