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14 Mod` eles de poursuite et localisation
Lorsque les obstacles ont une g´ eom´ etrie, les bords des obstacles sont caract´ eris´ es par des segments de droites [A, B]. Dans ce contexte, l’admissibilit´ e
d’une transition ´ el´ ementaire (X n−1 , X n ) ∈ T est souvent ´ equivalente ` a v´ erifier
que ces segments [A, B] et le segment [X n−1 , X n ] ne s’intersectent pas. Autrement dit, on v´ erifiera que les points X n−1 et X n se situent du mˆ eme cˆ ot´ e
de la droite (AB). D’apr` es les propri´ et´ es du produit vectoriel, on v´ erifiera
simplement que les d´ eterminants des matrices (AB, AX n−1 ) et (AB, AX n )
ont le mˆ eme signe.
Le plus simple mod` ele formalis´ e de robot mobile correspond `
a la donn´ ee
d’une position X n et d’un angle d’orientation Θ n . Cet angle est repr´ esent´ e
par la quatri` eme coordonn´ ee Θ n = X
(4)
n dans le mod` ele d’Ackermann. Dans
le mod` ele simplifi´ e de marche al´ eatoire sur le r´ eseau δZ
2 , cet angle d’orientation est simplement donn´ e par les 4 angles d’orientation
kπ
2 , k = −1, 0, 1, 2,
correspondant aux 4 accroissements ´ el´ ementaires possibles.
Dans les probl` emes de navigation et de localisation, le robot ne connait ni
son point de d´ epart ni son orientation initiale. Il mesure ` a chaque instant la
distance parcourue ΔX n := X n − X n−1 avec instrument de mesure de type
odom` etre. Cette mesure n’est jamais exacte. Elle se mod´ elise par une ´ equation
de la forme suivante
Y
(0)
n
:= ΔX n + V
(0)
n
Dans la formule ci-dessus, les perturbations de mesures sont repr´ esent´ ees par
une suite de variables al´ eatoires centr´ es V
(0)
n
de matrice de covariance connue
Σ
(0)
n . Outre cette observation locale, supposons que le robot soit ´ equip´ e d’une
s´ erie de m faisceaux lasers (L i ) 1≤i≤m plac´ es autour de lui et pointant dans
des directions espac´ ees d’un angle de
π
2m .
Dans une orientation choisie, chacun des lasers L i lui permet d’appr´ ecier
sa distance h i (X n , Θ n ) `
a l’obstacle le plus proche, ceci pour chaque i ∈
{1, . . . , m}. Ces observations bruit´ ees sont d´ ecrites par les ´ equations suivantes :
Y
(i)
n := h i (X n , Θ n ) + V
(i)
n
i = 1, . . . , m
Le probl` eme du filtrage consiste `
a calculer les lois conditionnelles des trajectoires compl` etes du robot sachant les mesures odom´ etriques Y
(0) et les
mesures lasers Y
(i) , avec 1 ≤ i ≤ m.
14.6 Poursuite de t´ el´ ephones mobiles en zone urbaine
Les antennes de combin´ es de t´ el´ ephones mobiles ´ emettent des radiofr´ equences afin de communiquer avec diff´ erentes stations de base. Ces stations
sont en g´ en´ eral charg´ ees de relayer les communications jusqu’au correspondant final de l’utilisateur. L’´ etude suivante est directement issue des mod` eles
de poursuite de mobiles pr´ esent´ es dans la these de C. Akerblom [4]. Pour des
r´ ef´ erences plus r´ ecentes, nous renvoyons le lecteur aux articles [86, 87].
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14 Mod` eles de poursuite et localisation
Lorsque les obstacles ont une g´ eom´ etrie, les bords des obstacles sont caract´ eris´ es par des segments de droites [A, B]. Dans ce contexte, l’admissibilit´ e
d’une transition ´ el´ ementaire (X n−1 , X n ) ∈ T est souvent ´ equivalente ` a v´ erifier
que ces segments [A, B] et le segment [X n−1 , X n ] ne s’intersectent pas. Autrement dit, on v´ erifiera que les points X n−1 et X n se situent du mˆ eme cˆ ot´ e
de la droite (AB). D’apr` es les propri´ et´ es du produit vectoriel, on v´ erifiera
simplement que les d´ eterminants des matrices (AB, AX n−1 ) et (AB, AX n )
ont le mˆ eme signe.
Le plus simple mod` ele formalis´ e de robot mobile correspond `
a la donn´ ee
d’une position X n et d’un angle d’orientation Θ n . Cet angle est repr´ esent´ e
par la quatri` eme coordonn´ ee Θ n = X
(4)
n dans le mod` ele d’Ackermann. Dans
le mod` ele simplifi´ e de marche al´ eatoire sur le r´ eseau δZ
2 , cet angle d’orientation est simplement donn´ e par les 4 angles d’orientation
kπ
2 , k = −1, 0, 1, 2,
correspondant aux 4 accroissements ´ el´ ementaires possibles.
Dans les probl` emes de navigation et de localisation, le robot ne connait ni
son point de d´ epart ni son orientation initiale. Il mesure ` a chaque instant la
distance parcourue ΔX n := X n − X n−1 avec instrument de mesure de type
odom` etre. Cette mesure n’est jamais exacte. Elle se mod´ elise par une ´ equation
de la forme suivante
Y
(0)
n
:= ΔX n + V
(0)
n
Dans la formule ci-dessus, les perturbations de mesures sont repr´ esent´ ees par
une suite de variables al´ eatoires centr´ es V
(0)
n
de matrice de covariance connue
Σ
(0)
n . Outre cette observation locale, supposons que le robot soit ´ equip´ e d’une
s´ erie de m faisceaux lasers (L i ) 1≤i≤m plac´ es autour de lui et pointant dans
des directions espac´ ees d’un angle de
π
2m .
Dans une orientation choisie, chacun des lasers L i lui permet d’appr´ ecier
sa distance h i (X n , Θ n ) `
a l’obstacle le plus proche, ceci pour chaque i ∈
{1, . . . , m}. Ces observations bruit´ ees sont d´ ecrites par les ´ equations suivantes :
Y
(i)
n := h i (X n , Θ n ) + V
(i)
n
i = 1, . . . , m
Le probl` eme du filtrage consiste `
a calculer les lois conditionnelles des trajectoires compl` etes du robot sachant les mesures odom´ etriques Y
(0) et les
mesures lasers Y
(i) , avec 1 ≤ i ≤ m.
14.6 Poursuite de t´ el´ ephones mobiles en zone urbaine
Les antennes de combin´ es de t´ el´ ephones mobiles ´ emettent des radiofr´ equences afin de communiquer avec diff´ erentes stations de base. Ces stations
sont en g´ en´ eral charg´ ees de relayer les communications jusqu’au correspondant final de l’utilisateur. L’´ etude suivante est directement issue des mod` eles
de poursuite de mobiles pr´ esent´ es dans la these de C. Akerblom [4]. Pour des
r´ ef´ erences plus r´ ecentes, nous renvoyons le lecteur aux articles [86, 87].
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