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12 Traitement du signal
ne d´ ependent que du point terminal x
n . Pour fixer les id´ ees, par analogie avec
(12.20), on pourra supposer que ces fonctions de vraisemblance sont associ´ ees
au processus d’observation
Y n = h n (X
0 , . . . , X
n ) + V n
pour une fonction d’observation qui ne d´ epend que de l’´ etat terminal :
h n (X
0 , . . . , X
n ) = h
n (X
n )
Dans ce contexte, les ´ etapes de correction du filtre optimal et de s´ election du
filtre particulaire ne d´ ependent que du point terminal du signal pr´ edit. Les
´ etapes de pr´ ediction du filtre optimal et de mutation du filtre particulaire sont
simplement donn´ ee par le transport markovien et l’extension ´ el´ ementaire des
trajectoires du signal (12.21).
Le filtre particulaire trajectoriel d´ ecrit alors simplement l’´ evolution des
lignes ancestrales d’un algorithme g´ en´ etique simple dont l’´ etape de s´ election
est associ´ ee aux fonctions G
n et dont l’´ etape de mutations est associ´ ee aux
extensions ´ el´ ementaires des trajectoires du signal X
n .
Ces filtres particulaires trajectoriels r´ esolvent les probl` emes de lissage optimal du signal X
, au sens o` u les mesures d’occupation des trajectoires pr´ edites
et corrig´ ees
η
N
n :=
1
N
N
i=1
δ
ξ
(i,N )
0,n ,...,ξ
(i,N )
n,n
et
η
N
n :=
1
N
N
i=1
δ
ξ
(i,N )
0,n ,...,
ξ
(i,N )
n,n
convergent en un certain sens vers les mesures conditionnelles trajectorielles :
lim
N →∞
η
N
n = η n := Loi((X
0 , . . . , X
n ) | ∀0 ≤ p < n Y p = y p )
et
lim
N →∞
η
N
n =
η n := Loi((X
0 , . . . , X
n ) | ∀0 ≤ p ≤ n Y p = y p )
La figure 12.4 offre une repr´ esentation de l’arbre g´ en´ ealogique associ´ e au
filtre particulaire d´ ecrit sur la figure 12.3.
En termes algorithmiques, les transitions des filtres particulaires trajectoriels sont analogues ` a celles d´ ecrites dans la section 12.2.3 :
– Condition initiale : On simule N variables al´ eatoires (ξ
i
0 ) 1≤i≤N ∈ E
N
0 ,
de mˆ eme loi η 0 (= Loi(X 0 )).
– A l’instant n : On suppose que la configuration de l’arbre g´ en´ ealogique
∀1 ≤ i ≤ N ξ
(i,N )
n
:=
ξ
(i,N )
0,n , ξ
(i,N )
1,n , . . . , ξ
(i,N )
n,n
∈ E n = (E
0 × . . . × E
n )
a ´ et´ e simul´ ee lors de l’´ etape n. Les deux ´ etapes de mise ` a jour et de
pr´ ediction correspondent aux ´ etapes de s´ election et de mutation
12 Traitement du signal
ne d´ ependent que du point terminal x
n . Pour fixer les id´ ees, par analogie avec
(12.20), on pourra supposer que ces fonctions de vraisemblance sont associ´ ees
au processus d’observation
Y n = h n (X
0 , . . . , X
n ) + V n
pour une fonction d’observation qui ne d´ epend que de l’´ etat terminal :
h n (X
0 , . . . , X
n ) = h
n (X
n )
Dans ce contexte, les ´ etapes de correction du filtre optimal et de s´ election du
filtre particulaire ne d´ ependent que du point terminal du signal pr´ edit. Les
´ etapes de pr´ ediction du filtre optimal et de mutation du filtre particulaire sont
simplement donn´ ee par le transport markovien et l’extension ´ el´ ementaire des
trajectoires du signal (12.21).
Le filtre particulaire trajectoriel d´ ecrit alors simplement l’´ evolution des
lignes ancestrales d’un algorithme g´ en´ etique simple dont l’´ etape de s´ election
est associ´ ee aux fonctions G
n et dont l’´ etape de mutations est associ´ ee aux
extensions ´ el´ ementaires des trajectoires du signal X
n .
Ces filtres particulaires trajectoriels r´ esolvent les probl` emes de lissage optimal du signal X
, au sens o` u les mesures d’occupation des trajectoires pr´ edites
et corrig´ ees
η
N
n :=
1
N
N
i=1
δ
ξ
(i,N )
0,n ,...,ξ
(i,N )
n,n
et
η
N
n :=
1
N
N
i=1
δ
ξ
(i,N )
0,n ,...,
ξ
(i,N )
n,n
convergent en un certain sens vers les mesures conditionnelles trajectorielles :
lim
N →∞
η
N
n = η n := Loi((X
0 , . . . , X
n ) | ∀0 ≤ p < n Y p = y p )
et
lim
N →∞
η
N
n =
η n := Loi((X
0 , . . . , X
n ) | ∀0 ≤ p ≤ n Y p = y p )
La figure 12.4 offre une repr´ esentation de l’arbre g´ en´ ealogique associ´ e au
filtre particulaire d´ ecrit sur la figure 12.3.
En termes algorithmiques, les transitions des filtres particulaires trajectoriels sont analogues ` a celles d´ ecrites dans la section 12.2.3 :
– Condition initiale : On simule N variables al´ eatoires (ξ
i
0 ) 1≤i≤N ∈ E
N
0 ,
de mˆ eme loi η 0 (= Loi(X 0 )).
– A l’instant n : On suppose que la configuration de l’arbre g´ en´ ealogique
∀1 ≤ i ≤ N ξ
(i,N )
n
:=
ξ
(i,N )
0,n , ξ
(i,N )
1,n , . . . , ξ
(i,N )
n,n
∈ E n = (E
0 × . . . × E
n )
a ´ et´ e simul´ ee lors de l’´ etape n. Les deux ´ etapes de mise ` a jour et de
pr´ ediction correspondent aux ´ etapes de s´ election et de mutation