364
12 Traitement du signal
P
B
i
n = 1 | ξ
(N )
n
= 1 − P
B
i
n = 0 | ξ
(N )
n
= n (η
N
n ) G n (ξ
(i,N )
n
)
Pour tous les 1 ≤ i ≤ N , on effectue les op´ erations de mise ` a jour
suivantes :
ξ
(i,N )
n
=
ξ
(i,N )
n
si B
i
n = 1
˜
ξ
(i,N )
n
si B
i
n = 0
o` u ˜
ξ
(i,N )
n
d´ esigne une variable simul´ ee selon la loi discr` ete :
N
j=1
G n (ξ
(j,N )
n
)
N
k=1 G n (ξ
(k,N )
n
)
δ ξ
(j,N )
n
(dx)
2. On d´ efinit ensuite le vecteur de pr´ ediction ξ
(N )
n+1 =
ξ
(i,N )
n+1
1≤i≤N
en
simulant pour chaque 1 ≤ i ≤ N une variable al´ eatoire ξ
(i,N )
n+1 de loi
M n+1
ξ
(i,N )
n
, dx
.
12.2.4 Filtrage et lissage en termes d’arbres g´ en´ ealogiques
Les filtres particulaires ´ etudi´ es dans la section 12.2.3 ont une interpr´ etation
naturelle en terme d’algorithme g´ en´ etique. Les ´ etapes de s´ election-pr´ ediction
correspondent aux ´ etapes traditionnelles de correction-pr´ ediction du filtrage
de signaux. Dans la section 2.2.4, nous avons ´ etudi´ e les mod` eles d’´ evolution des
arbres g´ en´ ealogiques associ´ es ` a des algorithmes g´ en´ etiques. Cette ´ etude souligne le fait que ces mod` eles d’arbres co¨ ıncident avec un algorithme g´ en´ etique
simple dans des espaces de trajectoires. Illustrons ces mod` eles dans le contexte
du filtrage. Supposons que l’´ etat X n du signal soit lui mˆ eme donn´ e par la trajectoire d’un signal auxiliaire X
n ´ evoluant dans un espace d’´ etat E
n
X n := (X
0 , . . . , X
n ) ∈ E n := (E
0 × . . . × E
n )
Les transitions ´ el´ ementaires du signal trajectoriel X n−1 X n sont simplement donn´ ees par la formule synth´ etique suivante :
X n =
X
0 , . . . , X
n−1 , X
n
=
X
0 , . . . , X
n−1
, X
n
= (X n−1 , X
n ) ∈ E n = E n−1 × E
n
Comme pr´ ec´ edemment, supposons que le processus d’observation est donn´ e
par une suite de mesures al´ eatoires Y n dans R
d d´ efinies par les formules suivantes :
P (Y n ∈ dy n |X n = x n ) = g n (y n , x n ) λ n (dy n )
(12.19)
pour une mesure de r´ ef´ erence λ n et une fonction suffisamment r´ eguli` ere g n sur
(R
d
× E). Pour fixer les id´ ees, par analogie avec (12.10), on pourra supposer
que les variables d’observation Y n sont donn´ ees par la formule suivante :
12 Traitement du signal
P
B
i
n = 1 | ξ
(N )
n
= 1 − P
B
i
n = 0 | ξ
(N )
n
= n (η
N
n ) G n (ξ
(i,N )
n
)
Pour tous les 1 ≤ i ≤ N , on effectue les op´ erations de mise ` a jour
suivantes :
ξ
(i,N )
n
=
ξ
(i,N )
n
si B
i
n = 1
˜
ξ
(i,N )
n
si B
i
n = 0
o` u ˜
ξ
(i,N )
n
d´ esigne une variable simul´ ee selon la loi discr` ete :
N
j=1
G n (ξ
(j,N )
n
)
N
k=1 G n (ξ
(k,N )
n
)
δ ξ
(j,N )
n
(dx)
2. On d´ efinit ensuite le vecteur de pr´ ediction ξ
(N )
n+1 =
ξ
(i,N )
n+1
1≤i≤N
en
simulant pour chaque 1 ≤ i ≤ N une variable al´ eatoire ξ
(i,N )
n+1 de loi
M n+1
ξ
(i,N )
n
, dx
.
12.2.4 Filtrage et lissage en termes d’arbres g´ en´ ealogiques
Les filtres particulaires ´ etudi´ es dans la section 12.2.3 ont une interpr´ etation
naturelle en terme d’algorithme g´ en´ etique. Les ´ etapes de s´ election-pr´ ediction
correspondent aux ´ etapes traditionnelles de correction-pr´ ediction du filtrage
de signaux. Dans la section 2.2.4, nous avons ´ etudi´ e les mod` eles d’´ evolution des
arbres g´ en´ ealogiques associ´ es ` a des algorithmes g´ en´ etiques. Cette ´ etude souligne le fait que ces mod` eles d’arbres co¨ ıncident avec un algorithme g´ en´ etique
simple dans des espaces de trajectoires. Illustrons ces mod` eles dans le contexte
du filtrage. Supposons que l’´ etat X n du signal soit lui mˆ eme donn´ e par la trajectoire d’un signal auxiliaire X
n ´ evoluant dans un espace d’´ etat E
n
X n := (X
0 , . . . , X
n ) ∈ E n := (E
0 × . . . × E
n )
Les transitions ´ el´ ementaires du signal trajectoriel X n−1 X n sont simplement donn´ ees par la formule synth´ etique suivante :
X n =
X
0 , . . . , X
n−1 , X
n
=
X
0 , . . . , X
n−1
, X
n
= (X n−1 , X
n ) ∈ E n = E n−1 × E
n
Comme pr´ ec´ edemment, supposons que le processus d’observation est donn´ e
par une suite de mesures al´ eatoires Y n dans R
d d´ efinies par les formules suivantes :
P (Y n ∈ dy n |X n = x n ) = g n (y n , x n ) λ n (dy n )
(12.19)
pour une mesure de r´ ef´ erence λ n et une fonction suffisamment r´ eguli` ere g n sur
(R
d
× E). Pour fixer les id´ ees, par analogie avec (12.10), on pourra supposer
que les variables d’observation Y n sont donn´ ees par la formule suivante :