7.4 Explorations al´ eatoires locales
205
P(X 0 = x) = μ(x) = d´ ef.
1
|E|
=
1
2 N
D’apr` es la discussion pr´ ec´ edente, cette distribution est r´ eversible par rappport
` a la transition M , en ce sens o` u
μ(x) M (x, y) = μ(y) M (y, x)
pour chaque transition (x, y) ∈ E
2 . Pour calculer la distribution de l’´ etat
suivant X 1 , on utilise la d´ ecomposition suivante :
P(X 0 = x , X 1 = y) = P(X 1 = y | X 0 = x) × P(X 0 = x) =
1
2 N M (x, y)
En utilisant les propri´ et´ es de r´ eversibilit´ e, on en conclut que
P(X 1 = y) =
x∈E
P(X 0 = x , X 1 = y) =
x∈E
P(X 1 = y | X 0 = x) P(X 0 = x)
=
1
2 N
x∈E
M (y, x) =
1
2 N = μ(y)
On a donc montr´ e que la mesure uniforme μ est une mesure r´ eversible du
mouvement, et a fortiori une mesure invariante de l’exploration.
7.4.4 Fonction ´ energie
On consid` ere une chaˆ ıne de production form´ ee de N machines num´ erot´ ees
de 1 ` a N . On note t(i) le temps n´ ecessaire pour effectuer un test de qualit´ e
sur la machine i, et par d(i) le nombre de pi` eces d´ efectueuses produites par
la machine i. Le temps n´ ecessaire T (x) `
a la mise en place d’une politique
de tests x = (x(i)) i=1,...,N , et le nombre D(x) de pi` eces d´ efectueuses non
d´ etect´ ees sont donn´ es par les formules suivantes
T (x) =
N
i=1
x(i) t(i) et D(x) =
N
i=1
(1 − x(i)) d(i)
Un exemple de chaˆ ıne de production est donn´ e dans la figure 7.2.
Les pertes financi` eres induites par la dur´ ee des contrˆ oles de qualit´ e, et par
le nombre de pi` eces d´ efectueuses en sortie sont repr´ esent´ ees par la donn´ ee
d’un couple de fonctions croissantes α et β de [0, ∞[ dans lui mˆ eme. Avec
ces notations, le prix de revient d’une politique de tests x = (x(i)) i=1,...,N est
donn´ ee par la fonction ´ energie
V (x) = α(T (x)) + β(D(x))
205
P(X 0 = x) = μ(x) = d´ ef.
1
|E|
=
1
2 N
D’apr` es la discussion pr´ ec´ edente, cette distribution est r´ eversible par rappport
` a la transition M , en ce sens o` u
μ(x) M (x, y) = μ(y) M (y, x)
pour chaque transition (x, y) ∈ E
2 . Pour calculer la distribution de l’´ etat
suivant X 1 , on utilise la d´ ecomposition suivante :
P(X 0 = x , X 1 = y) = P(X 1 = y | X 0 = x) × P(X 0 = x) =
1
2 N M (x, y)
En utilisant les propri´ et´ es de r´ eversibilit´ e, on en conclut que
P(X 1 = y) =
x∈E
P(X 0 = x , X 1 = y) =
x∈E
P(X 1 = y | X 0 = x) P(X 0 = x)
=
1
2 N
x∈E
M (y, x) =
1
2 N = μ(y)
On a donc montr´ e que la mesure uniforme μ est une mesure r´ eversible du
mouvement, et a fortiori une mesure invariante de l’exploration.
7.4.4 Fonction ´ energie
On consid` ere une chaˆ ıne de production form´ ee de N machines num´ erot´ ees
de 1 ` a N . On note t(i) le temps n´ ecessaire pour effectuer un test de qualit´ e
sur la machine i, et par d(i) le nombre de pi` eces d´ efectueuses produites par
la machine i. Le temps n´ ecessaire T (x) `
a la mise en place d’une politique
de tests x = (x(i)) i=1,...,N , et le nombre D(x) de pi` eces d´ efectueuses non
d´ etect´ ees sont donn´ es par les formules suivantes
T (x) =
N
i=1
x(i) t(i) et D(x) =
N
i=1
(1 − x(i)) d(i)
Un exemple de chaˆ ıne de production est donn´ e dans la figure 7.2.
Les pertes financi` eres induites par la dur´ ee des contrˆ oles de qualit´ e, et par
le nombre de pi` eces d´ efectueuses en sortie sont repr´ esent´ ees par la donn´ ee
d’un couple de fonctions croissantes α et β de [0, ∞[ dans lui mˆ eme. Avec
ces notations, le prix de revient d’une politique de tests x = (x(i)) i=1,...,N est
donn´ ee par la fonction ´ energie
V (x) = α(T (x)) + β(D(x))