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6 M´ ethodes de Monte Carlo par chaˆ ınes de Markov (MCMC)
L’exercice suivant montre que la mesure de Gibbs sur G m associ´ ee ` a cette
fonction d’´ energie, et la mesure uniforme λ(σ) =
1
m! , se concentre `
a basse
temp´ erature sur les circuits les plus courts.
Exercice 6.2.1 V´ erifier que pour tout σ ∈ G m , on a la convergence
lim
β→∞
μ β (σ) =
1
|U |
1 U (σ)
avec U
= {σ ∈ G m : U (σ) = inf Gm U }.
6.2.2 Mod` ele d’Ising
Le mod` ele d’Ising utilis´ e en traitement d’images, en ´ electromagn´ etisme et
en m´ ecanique statistique correspond ` a la situation o` u l’espace d’´ etat est un
espace de configuration produit
E = {−1, +1}
S
S = {1, . . . , L} × {1, . . . , L}.
On munit l’ensemble de sites S de la structure de graphe en consid´ erant les 4
voisins
j
1 = (i 1 , i 2 +1) ,
j
2 = (i 1 +1, i 2 ) ,
j
3 = (i 1 , i 2 −1) ,
j
4 = (i 1 −1, i 2 )
d’un point i = (i 1 , i 2 ) ∈ S, autrement dit
j
1
j
4
↔ i ↔ j
2
j
3
On note aussi i ∼ i
lorsque i, i
∈ S sont voisins (chaque site i est voisin avec
lui mˆ eme).
Pour ce mod` ele d’Ising, λ est la mesure uniforme produit sur {−1, +1}
S et
la fonction ´ energie U est d´ efinie par
U (x) = h
i∈S
x(i) − J
i∼j
x(i)x(j),
(6.3)
Le param` etre h est un nombre r´ eel quelconque repr´ esentant un champ
magn´ etique ext´ erieur, et J un nombre fix´ e et li´ e au degr´ e d’interaction
entre les sites.
La figure 6.6 repr´ esente une r´ ealisation al´ eatoire d’un mod` ele d’Ising sur
une boˆ ıte 20 × 20.
6 M´ ethodes de Monte Carlo par chaˆ ınes de Markov (MCMC)
L’exercice suivant montre que la mesure de Gibbs sur G m associ´ ee ` a cette
fonction d’´ energie, et la mesure uniforme λ(σ) =
1
m! , se concentre `
a basse
temp´ erature sur les circuits les plus courts.
Exercice 6.2.1 V´ erifier que pour tout σ ∈ G m , on a la convergence
lim
β→∞
μ β (σ) =
1
|U |
1 U (σ)
avec U
= {σ ∈ G m : U (σ) = inf Gm U }.
6.2.2 Mod` ele d’Ising
Le mod` ele d’Ising utilis´ e en traitement d’images, en ´ electromagn´ etisme et
en m´ ecanique statistique correspond ` a la situation o` u l’espace d’´ etat est un
espace de configuration produit
E = {−1, +1}
S
S = {1, . . . , L} × {1, . . . , L}.
On munit l’ensemble de sites S de la structure de graphe en consid´ erant les 4
voisins
j
1 = (i 1 , i 2 +1) ,
j
2 = (i 1 +1, i 2 ) ,
j
3 = (i 1 , i 2 −1) ,
j
4 = (i 1 −1, i 2 )
d’un point i = (i 1 , i 2 ) ∈ S, autrement dit
j
1
j
4
↔ i ↔ j
2
j
3
On note aussi i ∼ i
lorsque i, i
∈ S sont voisins (chaque site i est voisin avec
lui mˆ eme).
Pour ce mod` ele d’Ising, λ est la mesure uniforme produit sur {−1, +1}
S et
la fonction ´ energie U est d´ efinie par
U (x) = h
i∈S
x(i) − J
i∼j
x(i)x(j),
(6.3)
Le param` etre h est un nombre r´ eel quelconque repr´ esentant un champ
magn´ etique ext´ erieur, et J un nombre fix´ e et li´ e au degr´ e d’interaction
entre les sites.
La figure 6.6 repr´ esente une r´ ealisation al´ eatoire d’un mod` ele d’Ising sur
une boˆ ıte 20 × 20.