6.2 Mesures invariantes et algorithmes de simulation
159
On se donne une mesure μ M-r´ eversible, et l’on note
μ(dx) =
1
μ(GM (G))
G(x)M (G)(x) μ(dx)
Montrer que
μ est
M -r´ eversible.
6.2 Mesures invariantes et algorithmes de simulation
Dans la section 6.1.2, nous avons analys´ e les manifestations moyennes, et
le comportement asymptotique d’une chaˆ ıne de Markov en terme de point fixe
d’un op´ erateur int´ egral.
Plus pr´ ecis´ ement, lorsqu’une chaˆ ıne de Markov X n est homog` ene et suffisamment m´ elangeante, alors le th´ eor` eme ergodique nous montre que l’on
a
Loi(X n ) −→ n→∞ η et
1
n
n
p=1
δ Xp −→ n→∞ η
o` u η d´ esigne l’unique point fixe η = ηM de l’op´ erateur int´ egral induit par
les probabilit´ es de transitions M (x, y) de X n . Cette mesure de probabilit´ e
η est appel´ ee la mesure invariante, ou la loi stationnaire de la chaˆ ıne
de Markov de transitions M .
Apr` es des temps de chauffe n assez longs les ´ etats X n de la chaˆ ıne sont
approximativement distribu´ es selon la loi stationnaire η. Par analogie avec les
syst` emes dynamiques d´ eterministes, cette mesure joue le rˆ ole d’un attracteur.
Nous allons dans ce qui suit pr´ eciser deux types de situations importantes
rencontr´ ees en pratique :
1. La chaˆ ıne de Markov ´ etudi´ ee est un mod` ele probabiliste repr´ esentant
l’´ evolution al´ eatoire d’un ph´ enom` ene physique ou biologique. Dans ce
contexte, la mesure invariante permet d’analyser le comportement en
temps long du syst` eme.
Ces mesures limites ont rarement une description explicite, et leur description n´ ecessite souvent d’avoir recours `
a la simulation. Dans ce cas, le
th´ eor` eme ergodique nous permet d’approcher ces mesures en simulant les
mesures d’occupations de la chaˆ ıne.
Dans la section 6.1.3, nous avons illustr´ e cette premi` ere situation dans le
cadre de la formation d’image fractales par des fonctions it´ er´ ees stochastiques.
2. La chaˆ ıne de Markov ´ etudi´ ee est un algorithme stochastique permettant
de r´ esoudre un probl` eme d’optimisation, ou de simuler une loi cible
complexe.
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On se donne une mesure μ M-r´ eversible, et l’on note
μ(dx) =
1
μ(GM (G))
G(x)M (G)(x) μ(dx)
Montrer que
μ est
M -r´ eversible.
6.2 Mesures invariantes et algorithmes de simulation
Dans la section 6.1.2, nous avons analys´ e les manifestations moyennes, et
le comportement asymptotique d’une chaˆ ıne de Markov en terme de point fixe
d’un op´ erateur int´ egral.
Plus pr´ ecis´ ement, lorsqu’une chaˆ ıne de Markov X n est homog` ene et suffisamment m´ elangeante, alors le th´ eor` eme ergodique nous montre que l’on
a
Loi(X n ) −→ n→∞ η et
1
n
n
p=1
δ Xp −→ n→∞ η
o` u η d´ esigne l’unique point fixe η = ηM de l’op´ erateur int´ egral induit par
les probabilit´ es de transitions M (x, y) de X n . Cette mesure de probabilit´ e
η est appel´ ee la mesure invariante, ou la loi stationnaire de la chaˆ ıne
de Markov de transitions M .
Apr` es des temps de chauffe n assez longs les ´ etats X n de la chaˆ ıne sont
approximativement distribu´ es selon la loi stationnaire η. Par analogie avec les
syst` emes dynamiques d´ eterministes, cette mesure joue le rˆ ole d’un attracteur.
Nous allons dans ce qui suit pr´ eciser deux types de situations importantes
rencontr´ ees en pratique :
1. La chaˆ ıne de Markov ´ etudi´ ee est un mod` ele probabiliste repr´ esentant
l’´ evolution al´ eatoire d’un ph´ enom` ene physique ou biologique. Dans ce
contexte, la mesure invariante permet d’analyser le comportement en
temps long du syst` eme.
Ces mesures limites ont rarement une description explicite, et leur description n´ ecessite souvent d’avoir recours `
a la simulation. Dans ce cas, le
th´ eor` eme ergodique nous permet d’approcher ces mesures en simulant les
mesures d’occupations de la chaˆ ıne.
Dans la section 6.1.3, nous avons illustr´ e cette premi` ere situation dans le
cadre de la formation d’image fractales par des fonctions it´ er´ ees stochastiques.
2. La chaˆ ıne de Markov ´ etudi´ ee est un algorithme stochastique permettant
de r´ esoudre un probl` eme d’optimisation, ou de simuler une loi cible
complexe.