6.1 ´
El´ ements d’analyse asymptotique
155
2. On suppose que les entr´ ees de la matrice sont telles que |1 − c| < 1.
Montrer dans ce cas que l’on a
η ∞ (1) = d´ ef. lim
n→∞
M
n (1, 1) = lim
n→∞
M
n (2, 1) =
p 2,1
p 2,1 + p 1,2
η ∞ (2) = d´ ef. lim
n→∞
M
n (1, 2) = lim
n→∞
M
n (2, 2) =
p 1,2
p 2,1 + p 1,2
V´ erifier que la mesure de probabilit´ e η ∞ = [η ∞ (1), η ∞ (2)] est un point fixe
` a gauche de la matrice M , c’est-` a-dire η ∞ M = η ∞ . En d´ eduire que pour
toute fonction f sur E, nous avons
lim
n→∞
E(f (X n )) = η ∞ f
Exercice 6.1.3 On se donne une chaˆ ıne de Markov homog` ene sur un espace
fini E. On note M sa matrice de transition. On suppose que tous les ´ etats
de E sont -accessibles apr` es un nombre fix´ e m ≥ 1 de transitions, et pour un
certain ∈ (0, 1]
∀(x, y) ∈ E
2
P(X m = y | X 0 = x) = M
m (x, y) ≥
(6.2)
On associe `
a chaque ´ etat y ∈ E, les quantit´ es
a n (y) = inf
x∈E
M
n (x, y) et b n (y) = sup
x∈E
M
n (x, y)
1. V´ erifier que les suites de nombres (a n (y)) n≥0 , et (b n (y)) n≥0 ∈ [0, 1]
N , sont
respectivement croissante, et d´ ecroissante. Montrer que pour tout n ≥ 0,
on a la formule
M
n+m (x, y) =
z∈E
[M
m (x, z) − M
n (y, z)] M
n (z, y) + M
2n (y, y)
En conclure que
(1 − ) a n (y) + M
2n (y, y) ≤ M
n+m (x, y) ≤ (1 − ) b n (y) + M
2n (y, y)
En d´ eduire que 0 ≤ [b n+m (y) − a n+m (y)] ≤ (1 − ) [b n (y) − a n (y)].
2. V´ erifier que lim n→∞ [b n (y) − a n (y)] = 0. On introduit les quantit´ es
η ∞ (y) = lim
n→∞
b n (y) = lim
n→∞
a n (y) ∈ [0, 1]
Montrer que |M
n (x, y) − η ∞ (y)| ≤ (1 − )
[n/m] , o` u [a] d´ esigne la partie
enti` ere d’un r´ eel a. En conclure que pour toute mesure η 0 sur E, on a la
convergence vers le point fixe (` a gauche) de la matrice M
lim
n→∞
η 0 M
n (y) = η ∞ (y) et η ∞ = η ∞ M