6.1 ´
El´ ements d’analyse asymptotique
149
1
n
n
p=1
f (X p ) = f (1) + [f (0) − f (1)]
1
n
n
p=1
1 0 (X p )
converge clairement,lorsque n ↑ ∞, vers
f (1) + [f (0) − f (1)] E(1 0 (X 1 )) = E(f (1) + [f (0) − f (1)] 1 0 (X 1 ))
= E(f (0) 1 0 (X 1 ) + f (1) 1 1 (X 1 )) = E(f (X 1 ))
Dans un langage plus savant, on a coutume de dire que la mesure d’occupation
1
n
n
p=1
δ Xp
converge au sens faible vers la loi
η =
1
2
δ 0 +
1
2
δ 1
de la variable X 1 . On note abusivement cette convergence par la formule
synth´ etique suivante :
1
n
n
p=1
δ Xp −→ n→∞ η
Cette propri´ et´ e, connue sous le nom de loi des grands nombres, s’´ etend `
a
des suites de v.a. i.i.d. (X n ) n≥0 de mˆ eme loi η sur un espace abstrait E
suffisamment r´ egulier. Dans cette situation, nous avons ` a nouveau
1
n
n
p=1
f (X p ) → n→∞ η(f ) =
E
f (x) η(dx)
pour toute fonction test born´ ee f sur E.
Pour plus d’informations concernant ces convergences, nous renvoyons le
lecteur `
a un cours ´ el´ ementaire sur les probabilit´ es. En attendant, l’exercice
suivant permettra au lecteur impatient de se convaincre de la qualit´ e de ces
approximations. La th´ eorie des probabilit´ es offre bien ´ evidemment des estimations plus fines, mais l’analyse de ces derni` eres sort du cadre de cet ouvrage.
Exercice 6.1.1 Soit X une v.a. distribu´ ee selon une mesure de probabilit´ e η sur un ensemble E. On se donne une suite de variables al´ eatoires
ind´ ependantes X n , et de mˆ eme loi que X. On note η
n la mesure d’occupation
η
n =
1
n
n
p=1
δ Xp