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M´ ethodes de Monte Carlo par chaˆ ınes de
Markov (MCMC)
6.1 ´
El´ ements d’analyse asymptotique
6.1.1 La loi des grands nombres
Comme son nom l’indique la loi des grands nombres fait r´ ef´ erence `
a un
effet ou une information d´ eterministe induite par l’observation ou la simulation
d’un grand nombre de ph´ enom` enes al´ eatoires ind´ ependants. Cette information
n´ ee du chaos s’obtient simplement par un effet de moyennisation temporelle.
L’exemple le plus simple est le jeu du pile ou face. Par la suite, on d´ esigne
par le chiffre 0 le cot´ e pile, et par le chiffre 1 le cot´ e face. Lorsque la pi` ece
n’est par truqu´ ee, le r´ esultat du premier lancer est une variable al´ eatoire X 1
` a valeur dans {0, 1}, et de loi
P(X 1 = 1) = 1 − P(X 1 = 0) =
1
2
Par des lancers successifs, on construit une suite de v.a. ind´ ependantes
X 1 , X 2 , . . . de mˆ eme loi. On s’attend bien entendu, `
a ce que la fr´ equence
empirique d’apparition du cot´ e pile
1
n
n
p=1
1 0 (X p ) =
1
n
Card {1 ≤ p ≤ n : X p = 0}
converge en un certain sens vers 1/2, lorsque le nombre d’exp´ eriences n augmente et tend vers l’infini.
La figure 6.1 repr´ esente l’´ evolution des proportions de r´ ealisation de
l’´ ev´ enement
”
Pile” au cours du temps pour une pi` ece non truqu´ ee.
Pour une pi` ece truqu´ ee, les r´ ealisations des cot´ es pile et face ne sont plus
´ equiprobables. Par exemple, le cot´ e pile peut se r´ ealiser 9 fois plus souvent.
Dans ce cas, le r´ esultat d’un lancer est d´ etermin´ e par une v.a. Y 1 telle que
P. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_6,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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M´ ethodes de Monte Carlo par chaˆ ınes de
Markov (MCMC)
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El´ ements d’analyse asymptotique
6.1.1 La loi des grands nombres
Comme son nom l’indique la loi des grands nombres fait r´ ef´ erence `
a un
effet ou une information d´ eterministe induite par l’observation ou la simulation
d’un grand nombre de ph´ enom` enes al´ eatoires ind´ ependants. Cette information
n´ ee du chaos s’obtient simplement par un effet de moyennisation temporelle.
L’exemple le plus simple est le jeu du pile ou face. Par la suite, on d´ esigne
par le chiffre 0 le cot´ e pile, et par le chiffre 1 le cot´ e face. Lorsque la pi` ece
n’est par truqu´ ee, le r´ esultat du premier lancer est une variable al´ eatoire X 1
` a valeur dans {0, 1}, et de loi
P(X 1 = 1) = 1 − P(X 1 = 0) =
1
2
Par des lancers successifs, on construit une suite de v.a. ind´ ependantes
X 1 , X 2 , . . . de mˆ eme loi. On s’attend bien entendu, `
a ce que la fr´ equence
empirique d’apparition du cot´ e pile
1
n
n
p=1
1 0 (X p ) =
1
n
Card {1 ≤ p ≤ n : X p = 0}
converge en un certain sens vers 1/2, lorsque le nombre d’exp´ eriences n augmente et tend vers l’infini.
La figure 6.1 repr´ esente l’´ evolution des proportions de r´ ealisation de
l’´ ev´ enement
”
Pile” au cours du temps pour une pi` ece non truqu´ ee.
Pour une pi` ece truqu´ ee, les r´ ealisations des cot´ es pile et face ne sont plus
´ equiprobables. Par exemple, le cot´ e pile peut se r´ ealiser 9 fois plus souvent.
Dans ce cas, le r´ esultat d’un lancer est d´ etermin´ e par une v.a. Y 1 telle que
P. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_6,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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