1. FONCTIONS LOCALEMENT LIPSCHITZ
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Retenons en résumé :
En chaque point x de S (de Fr S plus précisément), il y a deux cônes
convexes fermés mutuellement polaires qui sont définis :
T (S, x) : le cˆ one tangent à S en x;
N (S, x) : le cˆ one normal à S en x.
Avertissement. Vu la généralité du contexte dans lequel ces deux concepts
sont définis (S est un fermé quelconque de H !), on ne peut pas s’attendre à ce
que les notions de tangence ou de normalité à S soient toujours très précises
ou informatives.
Signalons néanmoins la condition nécessaire d’optimalité que voici. Considérons le problème de minimisation suivant :
(P)
Minimiser f (x)
x ∈ S,
où f : H → R est localement Lipschitz et S ⊂ H un fermé.
Théorème 6.16 (condition nécessaire d’optimalité)
Si ¯
x ∈ S est un minimiseur local de f sur S, alors :
0 ∈ ∂ f ( ¯
x) + N (S, ¯
x).
(6.32)
Démonstration (Esquisse). On vérifie que ¯
x est un minimiseur local (sans
contrainte) de la fonction "pénalisée" f + L d S , où L est une constante de
Lipschitz de f au voisinage de ¯
x. Par suite (cf. Règles de calcul 6.12) :
0 ∈ ∂( f + L d S )( ¯
x) ⊂ ∂ f ( ¯
x) + R + ∂d S ( ¯
x)
⊂ ∂ f ( ¯
x) + N (S, ¯
x).
Remarque : Soit S représenté sous forme de contraintes inégalités :
S =
x ∈ H | g 1 (x) ≤ 0, . . . , g p (x) ≤ 0
,
où les g i : H → R sont localement Lipschitz. Soit ¯
x ∈ S et supposons
(QC) ¯
x Il existe d tel que g ◦
i ( ¯
x ; d) < 0 pour tout i ∈ I ( ¯
x).
On démontre alors – et ce n’est pas très difficile – l’inclusion suivante :
N (S, ¯
x) ⊂
i∈I ( ¯
x)
R + ∂g i ( ¯
x).