50
5 Horava–Lifshitz Gravity
For g 0i we find
δS
δg 0l
=
δS
δ N l
= 2α∇ k (K
kl
− λK g
kl
) − T
0l
= 0.
(5.9)
Finally, for g i j we find
G i j = T i j ,
(5.10)
where
G i j = G
(1)
i j + G
(2)
i j + G
(3)
i j + G
(4)
i j + G
(5)
i j + G
(6)
i j .
(5.11)
Here, with ≡ ∇
2 , one has
G
(1)
i j = 2αN K ik K
k
j −
αN
2
K kl K
kl
g i j + α(K ik N j )
;k
+ α(K jk N i )
;k
−
− α(K i j N k )
;k
+ (i ↔ j) ,
G
(2)
i j = −2αλN K K i j +
αλN
2
K
2
g i j −
αλ
√ g
g ik g jl
∂
∂t
(
√
gK g
kl
)
− αλ(K g ik N j )
;k
− αλ(K g jk N i )
;k
+ αλ(K g i j N k )
;k
+ (i ↔ j) ,
G
(3)
i j = N ξ R i j −
N
2
(ξ R + σ)g i j − ξ N ;i j + ξN g i j + (i ↔ j) ,
G
(4)
i j = 2N η R R i j −
N
2
η R
2
g i j + 2η(N R)g i j − 2η(N R) ;i j + (i ↔ j) ,
G
(5)
i j =
N
ζ R i j +
γ
2
C i j
−
N
ζ R ki +
γ
2
C ki
; k
; j
+
+
N
ζ R
kl
+
γ
2
C
kl
;lk
g i j + (i ↔ j) ,
and
G
(6)
i j =
1
2
mkl
√ g
(Q mi ) ;k jl + (Q
n
m ) ;kin g jl −
− (Q mi )
; n
;kn g jl − (Q mi ) ;k R jl − (Q mi R
n
k ) ;n g jl
+ (Q
n
m R ki ) ;n g jl +
1
2
(R
n
pkl Q
p
m ) ;n g i j + Q mi R jl;k
+
+ 2N ζ R ik R
k
j
−
N
2
(βC kl C
kl
+ γ R kl C
kl
+ ζ R kl R
kl
)g i j −
1
2
Q kl C
kl
g i j +
+ (i ↔ j) .
(5.12)