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2 Spezifikation und Modellierung
Danach fällt der Ball wieder nach unten und benötigt dabei dieselbe Zeit, wie für
das Steigen. Damit erfolgt der nächste Stoß zu einer Zeit
t 1 = 2t
′
1 = 2s
v 0
g
(2.10)
nach dem initialen Stoß.
Aus der Rechnung ist zu sehen, dass die Zeit für das Steigen oder das Fallen
aufgrund der Teilelastizität jeweils um den Faktor s kürzer ist als für das Steigen
oder Fallen in der vorherigen Iteration. Daher ereignet sich die Reflexion n ≥ 0
jeweils zum Zeitpunkt
t n =
v 0
g
+
2v 0
g
n
k=1
s
k =
2v 0
g
n
k=0
s
k −
v 0
g
(2.11)
Unter der Voraussetzung s < 1 konvergiert diese geometrische Reihe gemäß der
Theorie konvergenter Reihen zu
t f inal = lim
n→∞
2v 0
g
n
k=0
s
k −
v 0
g
=
2v 0
g(1 − s)
−
v 0
g
(2.12)
Dies bedeutet: auch wenn der Ball nicht klebrig ist, gibt es eine obere Schranke für
die Zeitpunkte der Reflexionen. Es gibt dann aber keine Schranke für die Anzahl
der Reflexionen. Dies entspricht der aus der Mathematik bekannten Tatsache, dass
unendliche Reihen zu einem endlichen Wert konvergieren können10.
Die Benutzung von Gleichungen einschließlich Ableitungen in Modelica bringt
uns in die Nähe der Sprache der Mathematik und der Physik. Mit der Einführung
von Ereignissen erhalten wir allerdings wieder sequentielles Verhalten. Die implizite
numerische Integration führt auch zum Risiko von Problemen mit der numerischen
Genauigkeit. Dementsprechend wurde auch die Formulierung h <= 0.0 gewählt,
da wir aufgrund von Genauigkeitsproblemen den Fall h = 0.0 verpassen können.
Genauigkeitsprobleme gibt es auch für das publizierte Modell des nicht-klebrigen
Balls [541]: aufgrund beschränkter Genauigkeit liefert Openmodelica eine Lösung,
bei welcher der Ball bei großen Zeiten t den Boden durchquert! Dieses Problem
wird dadurch verursacht, dass für sehr kurze Abstände zwischen den Reflexionen
keine Ereignisse erzeugt werden.
Dieses Beispiel zeigt sehr schön die Vorteile und Einschränkungen von Modelica: auf der einen Seite kann man mit Modelica sogar den physikalischen Anteil
cyber-physikalischer Systeme modellieren. Auf der anderen Seite benutzen wir nicht
genau die Sprache der Mathematik, was zu möglichen Modellierungsproblemen
beispielsweise aufgrund numerischer Ungenauigkeiten führt.
∇
10 Auf dieser Tatsache ist das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte [585] aufgebaut, das
ebenfalls über eine konvergierende unendliche Reihe modelliert werden kann.
2 Spezifikation und Modellierung
Danach fällt der Ball wieder nach unten und benötigt dabei dieselbe Zeit, wie für
das Steigen. Damit erfolgt der nächste Stoß zu einer Zeit
t 1 = 2t
′
1 = 2s
v 0
g
(2.10)
nach dem initialen Stoß.
Aus der Rechnung ist zu sehen, dass die Zeit für das Steigen oder das Fallen
aufgrund der Teilelastizität jeweils um den Faktor s kürzer ist als für das Steigen
oder Fallen in der vorherigen Iteration. Daher ereignet sich die Reflexion n ≥ 0
jeweils zum Zeitpunkt
t n =
v 0
g
+
2v 0
g
n
k=1
s
k =
2v 0
g
n
k=0
s
k −
v 0
g
(2.11)
Unter der Voraussetzung s < 1 konvergiert diese geometrische Reihe gemäß der
Theorie konvergenter Reihen zu
t f inal = lim
n→∞
2v 0
g
n
k=0
s
k −
v 0
g
=
2v 0
g(1 − s)
−
v 0
g
(2.12)
Dies bedeutet: auch wenn der Ball nicht klebrig ist, gibt es eine obere Schranke für
die Zeitpunkte der Reflexionen. Es gibt dann aber keine Schranke für die Anzahl
der Reflexionen. Dies entspricht der aus der Mathematik bekannten Tatsache, dass
unendliche Reihen zu einem endlichen Wert konvergieren können10.
Die Benutzung von Gleichungen einschließlich Ableitungen in Modelica bringt
uns in die Nähe der Sprache der Mathematik und der Physik. Mit der Einführung
von Ereignissen erhalten wir allerdings wieder sequentielles Verhalten. Die implizite
numerische Integration führt auch zum Risiko von Problemen mit der numerischen
Genauigkeit. Dementsprechend wurde auch die Formulierung h <= 0.0 gewählt,
da wir aufgrund von Genauigkeitsproblemen den Fall h = 0.0 verpassen können.
Genauigkeitsprobleme gibt es auch für das publizierte Modell des nicht-klebrigen
Balls [541]: aufgrund beschränkter Genauigkeit liefert Openmodelica eine Lösung,
bei welcher der Ball bei großen Zeiten t den Boden durchquert! Dieses Problem
wird dadurch verursacht, dass für sehr kurze Abstände zwischen den Reflexionen
keine Ereignisse erzeugt werden.
Dieses Beispiel zeigt sehr schön die Vorteile und Einschränkungen von Modelica: auf der einen Seite kann man mit Modelica sogar den physikalischen Anteil
cyber-physikalischer Systeme modellieren. Auf der anderen Seite benutzen wir nicht
genau die Sprache der Mathematik, was zu möglichen Modellierungsproblemen
beispielsweise aufgrund numerischer Ungenauigkeiten führt.
∇
10 Auf dieser Tatsache ist das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte [585] aufgebaut, das
ebenfalls über eine konvergierende unendliche Reihe modelliert werden kann.