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3 Hardware eingebetteter Systeme
dieses Bits, da die Widerstandswerte entsprechend gewählt werden. Wir betrachten
nun die durch die gestrichelte rote Linie markierte Masche in Abb. 3.51. Wir können die Kirchhoffsche Maschenregel (siehe Anhang B) auf die Masche anwenden,
die vom niederwertigsten Bit x 0 von x gesteuert wird. Wir beginnen den Durchlauf
durch die Masche beim Widerstand und durchlaufen die Masche anschließend im
Uhrzeigersinn. Der zweite Term ist die Spannung V − zwischen den Eingängen des
Operationsverstärkers. Sie wird positiv gezählt, da wir in Richtung des Pfeils vorgehen. Der dritte Term ist negativ, da wir entgegen der Pfeilrichtung laufen. Damit ist
x 0 ∗ I 0 ∗ 8 ∗ R + V − − V r e f = 0
(3.22)
V − ist ungefähr 0 (siehe Anhang B). Daraus folgt
I 0 = x 0 ∗
V re f
8 ∗ R
(3.23)
Entsprechende Gleichungen gelten für die Ströme I 1 bis I 3 durch die anderen Widerstände. Wir können jetzt die Kirchhoffsche Knotenregel (siehe Anhang B) auf
den Knoten anwenden, der alle Widerstände verbindet. An diesem Knoten muss der
Ausgangsstrom gleich der Summe der Eingangsströme sein. Damit ergibt sich
I = I 3 + I 2 + I 1 + I 0
(3.24)
I = x 3 ∗
V r e f
R
+ x 2 ∗
V re f
2 ∗ R
+ x 1 ∗
V re f
4 ∗ R
+ x 0 ∗
V re f
8 ∗ R
=
V re f
R
∗
3
i=0
x i ∗ 2
i−3
(3.25)
Jetzt können wir die Maschenregel auf die Masche anwenden, die aus R 1 , y und V −
besteht. Da V − ungefähr 0 ist, folgt:
y + R 1 ∗ I
′ = 0.
(3.26)
Wir können die Knotenregel auf den Knoten anwenden, der I, I ′ und den invertierenden Signaleingang des Operationsverstärkers verbindet. Der Strom an diesem
Eingang ist praktisch gleich Null. Die Ströme I und I ′ sind damit gleich (I = I ′ ).
y + R 1 ∗ I = 0
(3.27)
Aus den Gleichungen (3.25) und (3.27) folgt:
y = −V r e f ∗
R 1
R
∗
3
i=0
x i ∗ 2
i−3 = −V re f ∗
R 1
8 ∗ R
∗ nat(x)
(3.28)
nat ist die natürliche Zahl, die durch den Bitvektor x dargestellt wird. Offensichtlich ist die Spannung am Ausgang proportional zur durch x dargestellten Zahl.
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dieses Bits, da die Widerstandswerte entsprechend gewählt werden. Wir betrachten
nun die durch die gestrichelte rote Linie markierte Masche in Abb. 3.51. Wir können die Kirchhoffsche Maschenregel (siehe Anhang B) auf die Masche anwenden,
die vom niederwertigsten Bit x 0 von x gesteuert wird. Wir beginnen den Durchlauf
durch die Masche beim Widerstand und durchlaufen die Masche anschließend im
Uhrzeigersinn. Der zweite Term ist die Spannung V − zwischen den Eingängen des
Operationsverstärkers. Sie wird positiv gezählt, da wir in Richtung des Pfeils vorgehen. Der dritte Term ist negativ, da wir entgegen der Pfeilrichtung laufen. Damit ist
x 0 ∗ I 0 ∗ 8 ∗ R + V − − V r e f = 0
(3.22)
V − ist ungefähr 0 (siehe Anhang B). Daraus folgt
I 0 = x 0 ∗
V re f
8 ∗ R
(3.23)
Entsprechende Gleichungen gelten für die Ströme I 1 bis I 3 durch die anderen Widerstände. Wir können jetzt die Kirchhoffsche Knotenregel (siehe Anhang B) auf
den Knoten anwenden, der alle Widerstände verbindet. An diesem Knoten muss der
Ausgangsstrom gleich der Summe der Eingangsströme sein. Damit ergibt sich
I = I 3 + I 2 + I 1 + I 0
(3.24)
I = x 3 ∗
V r e f
R
+ x 2 ∗
V re f
2 ∗ R
+ x 1 ∗
V re f
4 ∗ R
+ x 0 ∗
V re f
8 ∗ R
=
V re f
R
∗
3
i=0
x i ∗ 2
i−3
(3.25)
Jetzt können wir die Maschenregel auf die Masche anwenden, die aus R 1 , y und V −
besteht. Da V − ungefähr 0 ist, folgt:
y + R 1 ∗ I
′ = 0.
(3.26)
Wir können die Knotenregel auf den Knoten anwenden, der I, I ′ und den invertierenden Signaleingang des Operationsverstärkers verbindet. Der Strom an diesem
Eingang ist praktisch gleich Null. Die Ströme I und I ′ sind damit gleich (I = I ′ ).
y + R 1 ∗ I = 0
(3.27)
Aus den Gleichungen (3.25) und (3.27) folgt:
y = −V r e f ∗
R 1
R
∗
3
i=0
x i ∗ 2
i−3 = −V re f ∗
R 1
8 ∗ R
∗ nat(x)
(3.28)
nat ist die natürliche Zahl, die durch den Bitvektor x dargestellt wird. Offensichtlich ist die Spannung am Ausgang proportional zur durch x dargestellten Zahl.