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2 Spezifikation und Modellierung
Abb. 2.51 Transition mit konstanter Markensumme
t j
3
2
1
Zur Vereinfachung der Summenschreibweise in Gleichung (2.14) führen wir nunmehr den sogenannten charakteristischen Vektor c R einer Stellenmenge R ein:
c R (p) =
1 wenn p ∈ R
0 wenn p R
Mit dieser Definition können wir Gleichung (2.14) umschreiben zu:
p ∈R
t j (p) =
p ∈P
t j (p) · c R (p) = t j · c R = 0
(2.15)
Dabei kennzeichnet · das Skalarprodukt. Wir suchen jetzt Stellenmengen, für die
das Schalten aller Transitionen die Markensumme konstant lässt. Dann muss die
Gleichung (2.15) statt für eine Transition t j für alle Transitionen gelten:
t 1 · c R = 0
t 2 · c R = 0
(2.16)
...
t n · c R = 0
Das Gleichungssystem (2.16) lässt sich mit der transponierten Inzidenzmatrix N
T
zusammenfassen zu:
N
T · c R = 0
(2.17)
Das Gleichungssystem (2.17) ist ein lineares homogenes Gleichungssystem. Die
Matrix N beschreibt die Kantengewichte des Petrinetzes. Gesucht sind Vektoren c R ,
welche dieses Gleichungssystem lösen. Da die Lösungsvektoren charakteristische
Vektoren sein müssen, können wir als Komponenten der Vektoren nur 0 und 1
erlauben15. Das Lösen derartiger Gleichungssysteme ist komplexer als das Lösen
von Gleichungssystemen mit reellwertigen Lösungsvektoren. Dennoch können durch
das Lösen von Gleichung (2.17) Aussagen über Eigenschaften eines Petrinetzes
gewonnen werden. In unserem Beispiel ändert sich die Anzahl der Züge, die zwischen
Köln und Paris verkehren, nicht. Das gleiche gilt für die Züge zwischen Amsterdam
und Paris. In Modellen, die den Zugriff auf gemeinsame Ressourcen modellieren,
kann beispielsweise der gegenseitige Ausschluss nachgewiesen werden.
15 Wenn wir gewichtete Markensummen betrachten, können wir natürliche Zahlen als Lösungen
erlauben.
2 Spezifikation und Modellierung
Abb. 2.51 Transition mit konstanter Markensumme
t j
3
2
1
Zur Vereinfachung der Summenschreibweise in Gleichung (2.14) führen wir nunmehr den sogenannten charakteristischen Vektor c R einer Stellenmenge R ein:
c R (p) =
1 wenn p ∈ R
0 wenn p R
Mit dieser Definition können wir Gleichung (2.14) umschreiben zu:
p ∈R
t j (p) =
p ∈P
t j (p) · c R (p) = t j · c R = 0
(2.15)
Dabei kennzeichnet · das Skalarprodukt. Wir suchen jetzt Stellenmengen, für die
das Schalten aller Transitionen die Markensumme konstant lässt. Dann muss die
Gleichung (2.15) statt für eine Transition t j für alle Transitionen gelten:
t 1 · c R = 0
t 2 · c R = 0
(2.16)
...
t n · c R = 0
Das Gleichungssystem (2.16) lässt sich mit der transponierten Inzidenzmatrix N
T
zusammenfassen zu:
N
T · c R = 0
(2.17)
Das Gleichungssystem (2.17) ist ein lineares homogenes Gleichungssystem. Die
Matrix N beschreibt die Kantengewichte des Petrinetzes. Gesucht sind Vektoren c R ,
welche dieses Gleichungssystem lösen. Da die Lösungsvektoren charakteristische
Vektoren sein müssen, können wir als Komponenten der Vektoren nur 0 und 1
erlauben15. Das Lösen derartiger Gleichungssysteme ist komplexer als das Lösen
von Gleichungssystemen mit reellwertigen Lösungsvektoren. Dennoch können durch
das Lösen von Gleichung (2.17) Aussagen über Eigenschaften eines Petrinetzes
gewonnen werden. In unserem Beispiel ändert sich die Anzahl der Züge, die zwischen
Köln und Paris verkehren, nicht. Das gleiche gilt für die Züge zwischen Amsterdam
und Paris. In Modellen, die den Zugriff auf gemeinsame Ressourcen modellieren,
kann beispielsweise der gegenseitige Ausschluss nachgewiesen werden.
15 Wenn wir gewichtete Markensummen betrachten, können wir natürliche Zahlen als Lösungen
erlauben.