2.6 Petrinetze
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Definition 2.17: Sei N ein Netz und sei x ∈ (C ∪ E). Dann heißt x • := {y|xF y, y ∈
(C ∪E)} der Nachbereich von x. Wenn x ein Ereignis ist, dann heißt x • auch „Menge
der Nachbedingungen von x”.
Die Begriffe Vorbedingung und Nachbedingung werden in den Fällen bevorzugt, in
denen diese Mengen tatsächlich Bedingungen ∈ C darstellen, also x ∈ E gilt.
Definition 2.18: Sei (c, e) ∈ C × E. (c, e) heißt Schleife, wenn cFe ∧ eFc.
Definition 2.19: Sei (c, e) ∈ C × E. N heißt rein, wenn F keine Schleifen enthält
(siehe Abb. 2.49 (links)).
Abb. 2.49 Netze, die nicht rein (links) und nicht einfach sind (Mitte und rechts)
Definition 2.20: Ein Netz heißt einfach, wenn keine zwei Transitionen t 1 und t 2 die
gleiche Menge von Vor- und Nachbedingungen haben (siehe Abb. 2.49 (Mitte) und
(rechts)).
Einfache Netze ohne isolierte Elemente, die einige zusätzliche Anforderungen
erfüllen, heißen Bedingungs/Ereignis-Netze. Bedingungs/Ereignis-Netze sind ein
Sonderfall von bipartiten Graphen (Graphen mit zwei unterschiedlichen, disjunkten
Mengen von Knoten). Die zusätzlich notwendigen Bedingungen werden wir hier
nicht weiter vertiefen, da wir uns im Weiteren mit allgemeineren Klassen von Netzen
beschäftigen.
2.6.3 Stellen/Transitions-Netze
Bei Bedingungs/Ereignis-Netzen gibt es höchstens eine Marke (engl. token) pro
Bedingung. Für viele Anwendungen ist es nützlich, diese Einschränkung aufzuheben
und mehrere Marken pro Bedingung zu erlauben. Netze, die mehrere Marken pro
Bedingung erlauben, heißen Stellen/Transitions-Netze (engl. place/transition nets).
Stellen entsprechen den bisher verwendeten Bedingungen, Transitionen entsprechen
den Ereignissen. Die Anzahl von Marken pro Stelle heißt Belegung. Mathematisch
betrachtet ist eine Belegung eine Abbildung von der Menge der Stellen auf die Menge
der natürlichen Zahlen, die um ein besonderes Symbol erweitert wird: ω steht für
unendlich.
Sei N 0 die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der 0. Ein Stellen/Transitionen-Netz kann formal wie folgt definiert werden:
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Definition 2.17: Sei N ein Netz und sei x ∈ (C ∪ E). Dann heißt x • := {y|xF y, y ∈
(C ∪E)} der Nachbereich von x. Wenn x ein Ereignis ist, dann heißt x • auch „Menge
der Nachbedingungen von x”.
Die Begriffe Vorbedingung und Nachbedingung werden in den Fällen bevorzugt, in
denen diese Mengen tatsächlich Bedingungen ∈ C darstellen, also x ∈ E gilt.
Definition 2.18: Sei (c, e) ∈ C × E. (c, e) heißt Schleife, wenn cFe ∧ eFc.
Definition 2.19: Sei (c, e) ∈ C × E. N heißt rein, wenn F keine Schleifen enthält
(siehe Abb. 2.49 (links)).
Abb. 2.49 Netze, die nicht rein (links) und nicht einfach sind (Mitte und rechts)
Definition 2.20: Ein Netz heißt einfach, wenn keine zwei Transitionen t 1 und t 2 die
gleiche Menge von Vor- und Nachbedingungen haben (siehe Abb. 2.49 (Mitte) und
(rechts)).
Einfache Netze ohne isolierte Elemente, die einige zusätzliche Anforderungen
erfüllen, heißen Bedingungs/Ereignis-Netze. Bedingungs/Ereignis-Netze sind ein
Sonderfall von bipartiten Graphen (Graphen mit zwei unterschiedlichen, disjunkten
Mengen von Knoten). Die zusätzlich notwendigen Bedingungen werden wir hier
nicht weiter vertiefen, da wir uns im Weiteren mit allgemeineren Klassen von Netzen
beschäftigen.
2.6.3 Stellen/Transitions-Netze
Bei Bedingungs/Ereignis-Netzen gibt es höchstens eine Marke (engl. token) pro
Bedingung. Für viele Anwendungen ist es nützlich, diese Einschränkung aufzuheben
und mehrere Marken pro Bedingung zu erlauben. Netze, die mehrere Marken pro
Bedingung erlauben, heißen Stellen/Transitions-Netze (engl. place/transition nets).
Stellen entsprechen den bisher verwendeten Bedingungen, Transitionen entsprechen
den Ereignissen. Die Anzahl von Marken pro Stelle heißt Belegung. Mathematisch
betrachtet ist eine Belegung eine Abbildung von der Menge der Stellen auf die Menge
der natürlichen Zahlen, die um ein besonderes Symbol erweitert wird: ω steht für
unendlich.
Sei N 0 die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der 0. Ein Stellen/Transitionen-Netz kann formal wie folgt definiert werden: