158
6 Asymmetric Quantum Codes
Table 6.4 Families of AQECCs
Code Family / [[n, k, d z /d x ]] q
Range of Parameters
Ref.
BCH
[[n, n − m(δ 1 − 1)(1 − 1/q) − m(δ 2 − 1)(1 − 1/q), d ∗
z /d ∗
x ]] q
gcd(q, n) = 1, or d n (q) = m,
[3]
q m/2 < n ≤ q m − 1,
2 ≤ δ 1 , δ 2 ≤ δ max =
min{{nq m/2 /(q m − 1), n},
δ 1 < δ ⊥
2 ≤ δ 2 < δ ⊥
1 ,
d ∗
z = wt (C 2 \C ⊥
1 ) ≥ δ 2 ,
d ∗
x = wt (C 1 \C ⊥
2 ) ≥ δ 1
[[2 m − 1, m(δ 2 − δ 1 )/2, d x /d z ]] q
m ≥ 2, 2 ≤ δ 1 < δ 2 < δ max =
2 m/2 − 1,
[140]
δ i ≡ 1 mod2 d x ≥ δ 1 ,
d z ≥ δ max + 1
[[n, k, d z /d x ]] q
n = q m − 1, m ≥ 3 (if q = 3,
m ≥ 4):
[91]
[[n, n − m(4q − 5) − 2, d z ≥ (2q + 2)/d x ≥ 2q]] q
[[n, n − m(4q − c − 5) − 2, d z ≥ (2q + 2)/d x ≥ (2q − c)]] q
0 ≤ c ≤ q − 2
[[n, n − m(2c − l − 4) − 2, d z ≥ c/d x ≥ (c − l)]] q
2 ≤ c ≤ q and 0 ≤ l ≤ c − 2
[[n, n − m(2c − l − 6) − 2, d z ≥ c/d x ≥ (c − l)]] q
q + 2 < c ≤ 2q and
0 ≤ l ≤ c − q − 3
[[n, n − m(4q − l − 5) − 1, d z ≥ (2q + 1)/d x ≥ (2q − l)]] q
0 ≤ l ≤ q − 2
Expanded BCH
[[tn, t[n − m(δ 1 − 1)(1 − 1/q) − m(δ 2 − 1)(1 − 1/q)], d ∗
z /d ∗
x ]] q
gcd(q, n) = 1, or d n (q) = m,
[3]
t ≥ 1, q m/2 < n ≤ q m − 1,
2 ≤ δ 1 , δ 2 ≤ δ max =
min{{nq m/2 /(q m − 1), n},
δ 1 < δ ⊥
2 ≤ δ 2 < δ ⊥
1 ,
d ∗
z = wt (C 2 \C ⊥
1 ) ≥ δ 2 ,
d ∗
x = wt (C 1 \C ⊥
2 ) ≥ δ 1
[[tn, tk, d z /d x ]] q
n = q m − 1, q = p t , p odd
prime, t ≥ 1,
m ≥ 3 (if q = 3, m ≥ 4):
[[tn, t (n − m(4q − 5) − 2), d z ≥ (2q + 2)/d x ≥ 2q]] p
[[tn, t (n − m(4q − c − 5) − 2), d z ≥ (2q + 2)/d x ≥ (2q − c)]] p
0 ≤ c ≤ q − 2
[[tn, t (n − m(2c − l − 4) − 2), d z ≥ c/d x ≥ (c − l)]] p
2 ≤ c ≤ q, 0 ≤ l ≤ c − 2
[[tn, t (n − m(2c − l − 6) − 2), d z ≥ c/d x ≥ (c − l)]] p
q + 2 < c ≤ 2q,
0 ≤ l ≤ c − q − 3
[[tn, t (n − m(4q − l − 5) − 1), d z ≥ (2q + 1)/d x ≥ (2q − l)]] p
0 ≤ l ≤ q − 2
BCH-LDPC
[[ p ms − 1, k x + k z − p ms + 1, d z /d x ]] p
δ ≤ δ 0 = p μs − 1
[140]
k x = dim BCH(δ) ⊆ F n
p ,
k z = dim C
(1)
EG,c (m, μ, 0, s, p),
d x ≥ δ,
d z ≥ A EG (m, μ, μ − 1, s, p)
[[2 2s − 1, 2 2s − 3 s − s(δ − 1), δ/2 s + 1]] 2
δ = 2t + 1 ≤ 2 s − 1
[140]
(continued)