7.9
Magnetic Field Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
7.10 Multi-dimensional Physics in Pre-formed Plasmas . . . . . . . . . . . . 282
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8 Chaos due to Relativistic Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
8.1
Basic Relation of an Electron in Relativistic Laser Field . . . . . . . 287
8.2
Laser Direct Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
8.2.1
Acceleration (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
8.2.2
Acceleration (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.2.3
PIC Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.3
Direct Acceleration after Interaction with Longitudinal Field . . . . 297
8.3.1
PIC Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
8.4
Chaotic Motion due to External Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.4.1
Simple Example [1] (Random Force) . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.4.2
Simple Example [2] (Periodic Force) . . . . . . . . . . . . . . . 307
8.4.3
Chaos in Propagating Relativistic Wave . . . . . . . . . . . . . 309
8.5
Electron Heating by Laser Field and Induced Plasma Waves . . . . 313
8.5.1
Modeling PIC Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
8.5.2
Quasi-linear Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
8.6
Hot Electron Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
8.6.1
Hot Electrons by Femtosecond Lasers . . . . . . . . . . . . . . 317
8.6.2
Hot Electrons by Picosecond Lasers . . . . . . . . . . . . . . . 318
8.6.3
Sheath Potential Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
8.6.4
Multi-dimensional Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
8.7
Electron Motion in Two Counter-Propagating Relativistic
Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
8.7.1
Counter-Propagating Two Laser Systems . . . . . . . . . . . . 324
8.7.2
One-Electron Orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
8.7.3
Lyapunov Exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
8.7.4
Hot Electron Temperature Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
9 Theory of Stochasticity and Chaos of Electrons in Relativistic
Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
9.1
Vlasov-Fokker-Planck Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
9.1.1
Stochastic Diffusion Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
9.1.2
Vlasov-Fokker-Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
9.2
Stochastic Heating by Laser Filamentation . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
9.2.1
Numerical Calculation of Test Particles . . . . . . . . . . . . . 337
9.2.2
PIC Simulation of Stochastic Diffusion . . . . . . . . . . . . . 339
9.3
Nonlocal Jump in Energy Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
9.3.1
Levy’s Flights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
9.3.2
Integral Form of Random Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
9.3.3
Fokker-Planck Diffusion Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
9.3.4
Fractional Fokker-Planck Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
Contents
xvii
Magnetic Field Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
7.10 Multi-dimensional Physics in Pre-formed Plasmas . . . . . . . . . . . . 282
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8 Chaos due to Relativistic Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
8.1
Basic Relation of an Electron in Relativistic Laser Field . . . . . . . 287
8.2
Laser Direct Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
8.2.1
Acceleration (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
8.2.2
Acceleration (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.2.3
PIC Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.3
Direct Acceleration after Interaction with Longitudinal Field . . . . 297
8.3.1
PIC Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
8.4
Chaotic Motion due to External Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.4.1
Simple Example [1] (Random Force) . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.4.2
Simple Example [2] (Periodic Force) . . . . . . . . . . . . . . . 307
8.4.3
Chaos in Propagating Relativistic Wave . . . . . . . . . . . . . 309
8.5
Electron Heating by Laser Field and Induced Plasma Waves . . . . 313
8.5.1
Modeling PIC Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
8.5.2
Quasi-linear Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
8.6
Hot Electron Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
8.6.1
Hot Electrons by Femtosecond Lasers . . . . . . . . . . . . . . 317
8.6.2
Hot Electrons by Picosecond Lasers . . . . . . . . . . . . . . . 318
8.6.3
Sheath Potential Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
8.6.4
Multi-dimensional Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
8.7
Electron Motion in Two Counter-Propagating Relativistic
Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
8.7.1
Counter-Propagating Two Laser Systems . . . . . . . . . . . . 324
8.7.2
One-Electron Orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
8.7.3
Lyapunov Exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
8.7.4
Hot Electron Temperature Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
9 Theory of Stochasticity and Chaos of Electrons in Relativistic
Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
9.1
Vlasov-Fokker-Planck Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
9.1.1
Stochastic Diffusion Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
9.1.2
Vlasov-Fokker-Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
9.2
Stochastic Heating by Laser Filamentation . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
9.2.1
Numerical Calculation of Test Particles . . . . . . . . . . . . . 337
9.2.2
PIC Simulation of Stochastic Diffusion . . . . . . . . . . . . . 339
9.3
Nonlocal Jump in Energy Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
9.3.1
Levy’s Flights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
9.3.2
Integral Form of Random Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
9.3.3
Fokker-Planck Diffusion Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
9.3.4
Fractional Fokker-Planck Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
Contents
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