xiv
Contents
5.5.6
Illustrative Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6 Growth ........................................................................ 253
6.1
Types of Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.2
A Few Words About Growth Theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.3
Equations for a Growing Bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.3.1
Configurations for Volumetric Growth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
6.3.2
Growth Equations in Principal Cartesian Coordinates . . . . . 257
6.4
Fundamental Growth Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.4.1
Growth of an Unconstrained Bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.4.2
Growth of a Constrained Bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.4.3
Stresses Generated by Differential Growth in an
Unconstrained Bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.5
Residual Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.5.1
Historical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
6.5.2
Determining Residual Stress in Soft Tissues . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.6
General Theory for Growth in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.6.1
Configurations for a Growing Body. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
6.6.2
Governing Equations for 3D Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
6.6.3
Equations for Residual Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
6.6.4
Growth Equations in Principal Cylindrical Coordinates . . . 285
6.6.5
Growth Equations in Principal Spherical Coordinates . . . . . 286
6.7
Growth-Induced Residual Stress in Tubes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
6.8
Case Study: Growth of a Spherical Brain Tumor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
6.8.1
Tumor Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.8.2
Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
6.8.3
Illustrative Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
6.9
Mechanical Feedback. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
6.9.1
Mechanical Growth Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
6.9.2
Formulating Growth Laws: Fundamental Hypotheses . . . . . 304
6.9.3
Growth Laws for Muscle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
6.10 Theory for Combined Growth and Contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
6.11 Case Study: Functional Adaptation in Arteries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
6.11.1 Fundamental Adaptive Behavior of Arteries . . . . . . . . . . . . . . . 316
6.11.2 Model for an Artery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
6.11.3 Analysis of Growing and Contracting Artery . . . . . . . . . . . . . . 321
6.11.4 Computation of Opening Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.11.5 Illustrative Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
7 Remodeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
7.1
Determinants of Material Properties in Soft Tissues . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
7.2
Fundamental Remodeling Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
Contents
5.5.6
Illustrative Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6 Growth ........................................................................ 253
6.1
Types of Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.2
A Few Words About Growth Theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.3
Equations for a Growing Bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.3.1
Configurations for Volumetric Growth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
6.3.2
Growth Equations in Principal Cartesian Coordinates . . . . . 257
6.4
Fundamental Growth Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.4.1
Growth of an Unconstrained Bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.4.2
Growth of a Constrained Bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.4.3
Stresses Generated by Differential Growth in an
Unconstrained Bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.5
Residual Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.5.1
Historical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
6.5.2
Determining Residual Stress in Soft Tissues . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.6
General Theory for Growth in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.6.1
Configurations for a Growing Body. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
6.6.2
Governing Equations for 3D Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
6.6.3
Equations for Residual Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
6.6.4
Growth Equations in Principal Cylindrical Coordinates . . . 285
6.6.5
Growth Equations in Principal Spherical Coordinates . . . . . 286
6.7
Growth-Induced Residual Stress in Tubes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
6.8
Case Study: Growth of a Spherical Brain Tumor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
6.8.1
Tumor Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.8.2
Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
6.8.3
Illustrative Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
6.9
Mechanical Feedback. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
6.9.1
Mechanical Growth Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
6.9.2
Formulating Growth Laws: Fundamental Hypotheses . . . . . 304
6.9.3
Growth Laws for Muscle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
6.10 Theory for Combined Growth and Contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
6.11 Case Study: Functional Adaptation in Arteries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
6.11.1 Fundamental Adaptive Behavior of Arteries . . . . . . . . . . . . . . . 316
6.11.2 Model for an Artery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
6.11.3 Analysis of Growing and Contracting Artery . . . . . . . . . . . . . . 321
6.11.4 Computation of Opening Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.11.5 Illustrative Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
7 Remodeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
7.1
Determinants of Material Properties in Soft Tissues . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
7.2
Fundamental Remodeling Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344