1.6 Exercices
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22. On projette la sph` ere sur le cylindre infini vertical en passant par le centre de la
sph` ere.
a) Donner la formule de la projection.
b) Quelle est l’image des m´ eridiens ? Des parall` eles ?
c) Quelle est l’image d’un grand cercle ?
23. Dans les projections coniques, on utilise des cˆ ones tangents ou s´ ecants ` a la Terre et
on projette en passant par le centre de la Terre. Imaginer des projections coniques
et d´ ecrire le r´ eseau de m´ eridiens et de parall` eles sur la projection.
24. Projection st´ er´ eographique On projette la sph` ere sur un plan tangent `
a la
sph` ere en un point P . Soit P
le point diam´ etralement oppos´ e ` a P . La projection
se fait ainsi : si Q est un point de la sph` ere, sa projection est l’intersection de la
droite P
Q avec le plan tangent `
a la sph` ere en P .
a) Donner la formule de cette projection dans le cas o` u P est le pˆ ole Sud et o` u
on consid` ere la sph` ere x
2 + y
2 + z
2 = 1 de rayon 1. (Alors, le point P
est le pˆ ole
Nord, et le plan tangent est le plan z = −1.)
b) Montrer que cette projection est conforme.
25. Pour faire de la bonne cartographie, on doit plutˆ ot repr´ esenter la Terre comme
un ellipso¨ ıde de r´ evolution
x
2
a 2 +
y
2
a 2 +
z
2
b 2 = 1. En g´ en´ eralisant un ´ equivalent des
coordonn´ ees sph´ eriques, les points de l’ellipso¨ ıde peuvent s’´ ecrire comme
(x, y, z) = (a cos θ cos φ, a sin θ cos φ, b sin φ).
La notion de longitude est la mˆ eme que pour la sph` ere, soit θ, mais les g´ eographes
utilisent plutˆ ot la latitude g´ eod´ esique d´ efinie comme suit : la latitude g´ eod´ esique
d’un point P de l’ellipso¨ ıde est l’angle entre la normale `
a l’ellipso¨ ıde en P et le plan
de l’´ equateur (le plan z = 0). Calculer la latitude g´ eod´ esique en fonction de φ.
26. Une projection conique conforme de Lambert On consid` ere la sph` ere x
2 +
y
2 + z
2 = 1 et un cˆ one d’axe z, centr´ e en un point de l’axe z au-dessus du pˆ ole Nord.
a) Quelles sont les coordonn´ ees du sommet du cˆ one si le cˆ one est tangent ` a la
sph` ere le long du parall` ele φ = φ 0 .
b) Si on d´ ecoupe le cˆ one le long du demi-plan contenant le m´ eridien θ = π et
qu’on le d´ eroule, on obtient un secteur. Montrer que l’angle au sommet de ce
secteur est 2π sin φ 0 .
c) Montrer que la distance ρ 0 entre le sommet du cˆ one et un point de tangence
entre le cˆ one et la sph` ere est ρ 0 = cot φ 0 .
d) Plus difficile ! On suppose que le secteur est dispos´ e comme sur la figure 1.13.
La projection de Lambert de la sph` ere sur ce secteur est d´ efinie comme suit.
Soit (x, y, z) = (cos θ cos φ, sin θ cos φ, sin φ) un point de la sph` ere. On lui associe le
point :
X = ρ sin ψ
Y = ρ 0 − ρ cos ψ
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22. On projette la sph` ere sur le cylindre infini vertical en passant par le centre de la
sph` ere.
a) Donner la formule de la projection.
b) Quelle est l’image des m´ eridiens ? Des parall` eles ?
c) Quelle est l’image d’un grand cercle ?
23. Dans les projections coniques, on utilise des cˆ ones tangents ou s´ ecants ` a la Terre et
on projette en passant par le centre de la Terre. Imaginer des projections coniques
et d´ ecrire le r´ eseau de m´ eridiens et de parall` eles sur la projection.
24. Projection st´ er´ eographique On projette la sph` ere sur un plan tangent `
a la
sph` ere en un point P . Soit P
le point diam´ etralement oppos´ e ` a P . La projection
se fait ainsi : si Q est un point de la sph` ere, sa projection est l’intersection de la
droite P
Q avec le plan tangent `
a la sph` ere en P .
a) Donner la formule de cette projection dans le cas o` u P est le pˆ ole Sud et o` u
on consid` ere la sph` ere x
2 + y
2 + z
2 = 1 de rayon 1. (Alors, le point P
est le pˆ ole
Nord, et le plan tangent est le plan z = −1.)
b) Montrer que cette projection est conforme.
25. Pour faire de la bonne cartographie, on doit plutˆ ot repr´ esenter la Terre comme
un ellipso¨ ıde de r´ evolution
x
2
a 2 +
y
2
a 2 +
z
2
b 2 = 1. En g´ en´ eralisant un ´ equivalent des
coordonn´ ees sph´ eriques, les points de l’ellipso¨ ıde peuvent s’´ ecrire comme
(x, y, z) = (a cos θ cos φ, a sin θ cos φ, b sin φ).
La notion de longitude est la mˆ eme que pour la sph` ere, soit θ, mais les g´ eographes
utilisent plutˆ ot la latitude g´ eod´ esique d´ efinie comme suit : la latitude g´ eod´ esique
d’un point P de l’ellipso¨ ıde est l’angle entre la normale `
a l’ellipso¨ ıde en P et le plan
de l’´ equateur (le plan z = 0). Calculer la latitude g´ eod´ esique en fonction de φ.
26. Une projection conique conforme de Lambert On consid` ere la sph` ere x
2 +
y
2 + z
2 = 1 et un cˆ one d’axe z, centr´ e en un point de l’axe z au-dessus du pˆ ole Nord.
a) Quelles sont les coordonn´ ees du sommet du cˆ one si le cˆ one est tangent ` a la
sph` ere le long du parall` ele φ = φ 0 .
b) Si on d´ ecoupe le cˆ one le long du demi-plan contenant le m´ eridien θ = π et
qu’on le d´ eroule, on obtient un secteur. Montrer que l’angle au sommet de ce
secteur est 2π sin φ 0 .
c) Montrer que la distance ρ 0 entre le sommet du cˆ one et un point de tangence
entre le cˆ one et la sph` ere est ρ 0 = cot φ 0 .
d) Plus difficile ! On suppose que le secteur est dispos´ e comme sur la figure 1.13.
La projection de Lambert de la sph` ere sur ce secteur est d´ efinie comme suit.
Soit (x, y, z) = (cos θ cos φ, sin θ cos φ, sin φ) un point de la sph` ere. On lui associe le
point :
X = ρ sin ψ
Y = ρ 0 − ρ cos ψ