15.10 Exercices
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43. Il existe cinq poly` edres r´ eguliers : le t´ etra` edre, le cube, l’octa` edre, le dod´ eca` edre
et l’icosa` edre, qui sont donc tous inscrits dans une sph` ere. L’icosa` edre apparaˆ ıt ` a
la figure 15.59. Il a 12 sommets et 20 faces alors que le dod´ eca` edre a 20 sommets
et 12 faces.
Fig. 15.59. Un icosa` edre
a) Montrer que les centres des faces d’un dod´ eca` edre sont les sommets d’un
icosa` edre et que les centres des faces d’un icosa` edre sont les sommets d’un
dod´ eca` edre. (On dit que les deux poly` edres sont duaux.)
b) En d´ eduire une mani` ere de tracer sur une sph` ere les sommets d’un icosa` edre
inscrit.
c) Chaque sommet d’un icosa` edre appartient `
a cinq faces. Il existe au moins
une mani` ere de colorier les faces d’un icosa` edre `
a l’aide de cinq couleurs de sorte
que les cinq faces touchant ` a chaque sommet soient toutes de couleur diff´ erente.
Pouvez-vous en proposer une ? Est-il possible de colorier les faces de fa¸ con ` a ce
que les couleurs attach´ ees ` a chaque sommet, vu du dessus, apparaissent dans le
mˆ eme ordre ?
44. Expliquer pourquoi les diagonales des pentagones du dod´ eca` edre forment des
cubes. Suggestion : regarder les sym´ etries, par exemple, le plan m´ ediateur de
deux diagonales. Il peut ˆ etre commode, pour raisonner, de construire soi-mˆ eme un
dod´ eca` edre et de dessiner dessus ces diagonales.