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15 Flashs-science
suivant une parabole. Cette exp´ erience a ´ et´ e critiqu´ ee parce que les distances utilis´ ees
´ etaient loin de correspondre ` a celles auxquelles aurait fait face Archim` ede. Malgr´ e ces
critiques, l’exp´ erience montre que l’id´ ee n’est pas aussi saugrenue qu’on aurait pu le
penser.
Archim` ede ne pouvait pas non plus aller `
a la quincaillerie du coin pour acheter une
centaine de miroirs ! Aurait-il pu utiliser une s´ erie de boucliers bien polis les uns `
a cˆ ot´ e
des autres ? On en doute, mais on ne peut l’exclure.
15.2.2 L’ellipse
Rappelons la d´ efinition g´ eom´ etrique de l’ellipse.
D´ efinition 15.8 L’ellipse est le lieu g´ eom´ etrique des points du plan dont la somme des
distances ` a deux points F 1 et F 2 est ´ egale `
a une constante C > |F 1 F 2 |. Les points F 1 et
F 2 sont appel´ es les foyers de l’ellipse.
L’ellipse a une propri´ et´ e remarquable du mˆ eme type que la parabole.
Th´ eor` eme 15.9 (la propri´ et´ e remarquable de l’ellipse) Tout rayon incident partant d’un des foyers et r´ efl´ echi sur l’ellipse arrive `
a l’autre foyer.
Preuve Ici aussi, nous allons donner une preuve g´ eom´ etrique utilisant seulement la
d´ efinition 15.8, que nous pouvons reformuler comme suit : si R est un point quelconque
du plan, on a
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
|F 1 R| + |F 2 R| < C si R est ` a l’int´ erieur de l’ellipse,
|F 1 R| + |F 2 R| = C si R est sur l’ellipse,
|F 1 R| + |F 2 R| > C si R est ` a l’ext´ erieur de l’ellipse.
(15.3)
Consid´ erons un rayon issu de F 1 frappant l’ellipse au point P (figure 15.17). Prenons la
droite (D) passant par P et faisant des angles ´ egaux avec F 1 P et F 2 P . On doit montrer
que cette droite est tangente `
a l’ellipse en P . Ici encore, on se sert du fait que toute
droite passant par P autre que la tangente `
a l’ellipse a des points int´ erieurs ` a l’ellipse
(figure 15.18). On doit donc montrer que tout point R de (D) diff´ erent de P satisfait ` a
|F 1 R| + |F 2 R| > C.
Soit F le sym´ etrique de F 1 par rapport `
a (D). Puisque P et R sont sur (D), on a par
sym´ etrie |F P | = |F 1 P | et |F R| = |F 1 R|. Donc, les triangles F 1 P R et F P R sont congrus,
car ils ont trois cˆ ot´ es ´ egaux. On en d´ eduit l’´ egalit´ e des angles
F P R =
F 1 P R. Comme
F 1 P R =
F 2 P S par d´ efinition de (D), on a
F P R =
F 2 P S, ce qui nous permet de conclure
que F 2 , F et P sont align´ es de par le lemme 15.2. Par cons´ equent, |F F 2 | = |F P | + |P F 2 |
et
|F 1 R| + |F 2 R| = |F R| + |F 2 R| > |F F 2 |.
Or,
15 Flashs-science
suivant une parabole. Cette exp´ erience a ´ et´ e critiqu´ ee parce que les distances utilis´ ees
´ etaient loin de correspondre ` a celles auxquelles aurait fait face Archim` ede. Malgr´ e ces
critiques, l’exp´ erience montre que l’id´ ee n’est pas aussi saugrenue qu’on aurait pu le
penser.
Archim` ede ne pouvait pas non plus aller `
a la quincaillerie du coin pour acheter une
centaine de miroirs ! Aurait-il pu utiliser une s´ erie de boucliers bien polis les uns `
a cˆ ot´ e
des autres ? On en doute, mais on ne peut l’exclure.
15.2.2 L’ellipse
Rappelons la d´ efinition g´ eom´ etrique de l’ellipse.
D´ efinition 15.8 L’ellipse est le lieu g´ eom´ etrique des points du plan dont la somme des
distances ` a deux points F 1 et F 2 est ´ egale `
a une constante C > |F 1 F 2 |. Les points F 1 et
F 2 sont appel´ es les foyers de l’ellipse.
L’ellipse a une propri´ et´ e remarquable du mˆ eme type que la parabole.
Th´ eor` eme 15.9 (la propri´ et´ e remarquable de l’ellipse) Tout rayon incident partant d’un des foyers et r´ efl´ echi sur l’ellipse arrive `
a l’autre foyer.
Preuve Ici aussi, nous allons donner une preuve g´ eom´ etrique utilisant seulement la
d´ efinition 15.8, que nous pouvons reformuler comme suit : si R est un point quelconque
du plan, on a
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
|F 1 R| + |F 2 R| < C si R est ` a l’int´ erieur de l’ellipse,
|F 1 R| + |F 2 R| = C si R est sur l’ellipse,
|F 1 R| + |F 2 R| > C si R est ` a l’ext´ erieur de l’ellipse.
(15.3)
Consid´ erons un rayon issu de F 1 frappant l’ellipse au point P (figure 15.17). Prenons la
droite (D) passant par P et faisant des angles ´ egaux avec F 1 P et F 2 P . On doit montrer
que cette droite est tangente `
a l’ellipse en P . Ici encore, on se sert du fait que toute
droite passant par P autre que la tangente `
a l’ellipse a des points int´ erieurs ` a l’ellipse
(figure 15.18). On doit donc montrer que tout point R de (D) diff´ erent de P satisfait ` a
|F 1 R| + |F 2 R| > C.
Soit F le sym´ etrique de F 1 par rapport `
a (D). Puisque P et R sont sur (D), on a par
sym´ etrie |F P | = |F 1 P | et |F R| = |F 1 R|. Donc, les triangles F 1 P R et F P R sont congrus,
car ils ont trois cˆ ot´ es ´ egaux. On en d´ eduit l’´ egalit´ e des angles
F P R =
F 1 P R. Comme
F 1 P R =
F 2 P S par d´ efinition de (D), on a
F P R =
F 2 P S, ce qui nous permet de conclure
que F 2 , F et P sont align´ es de par le lemme 15.2. Par cons´ equent, |F F 2 | = |F P | + |P F 2 |
et
|F 1 R| + |F 2 R| = |F R| + |F 2 R| > |F F 2 |.
Or,