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1 Positionnement
Fixons tout de suite les r` egles du jeu. Un th´ eor` eme de g´ eom´ etrie diff´ erentielle assure
qu’il est impossible de cartographier une portion de sph` ere par une portion de plan en
pr´ eservant les distances et les angles. (Pour ceux qui connaissent le jargon, une telle
transformation serait une isom´ etrie et pr´ eserverait donc la courbure de Gauss. Or, la
courbure de Gauss d’une sph` ere de rayon R est 1/R
2 , alors que les courbures de Gauss
du plan et du cylindre sont toutes deux nulles.) On doit donc faire des compromis.
Ceux-ci d´ ependent de la probl´ ematique.
Toutes les m´ ethodes de cartographie sont des projections de divers types.
Projection sur un plan tangent ` a la sph` ere C’est la m´ ethode la plus ´ el´ ementaire ` a
laquelle on puisse songer. Il existe diff´ erents types de projection suivant que l’on projette
par le centre de la sph` ere (projection gnomonique), par le point antipodal au point de
tangence (projection st´ er´ eographique), ou encore, par des droites orthogonales au plan de
projection (projection orthographique) (voir figure 1.6). Ce type de cartographie donne
des r´ esultats acceptables si on veut cartographier une petite r´ egion de la sph` ere. Par
contre, les d´ eformations deviennent importantes d` es qu’on s’´ eloigne du point de tangence
entre la sph` ere et le plan. Sur le plan math´ ematique, ces projections ne pr´ esentent pas
un grand int´ erˆ et (sauf la projection st´ er´ eographique discut´ ee ` a l’exercice 24), et nous ne
nous ´ etendrons pas plus dessus.
(a) Projection gnomonique
(b) Projection st´ er´ eographique
(c) Projection orthographique
Fig. 1.6. Trois types de projection sur un plan
D’ici la fin de la section, nous allons nous concentrer sur des projections sur un
cylindre. En effet, on peut ensuite d´ erouler le cyclindre et obtenir une carte plane. D´ ej` a,
on a fait un gros progr` es : toute la r´ egion voisine de l’´ equateur est repr´ esent´ ee de mani` ere
1 Positionnement
Fixons tout de suite les r` egles du jeu. Un th´ eor` eme de g´ eom´ etrie diff´ erentielle assure
qu’il est impossible de cartographier une portion de sph` ere par une portion de plan en
pr´ eservant les distances et les angles. (Pour ceux qui connaissent le jargon, une telle
transformation serait une isom´ etrie et pr´ eserverait donc la courbure de Gauss. Or, la
courbure de Gauss d’une sph` ere de rayon R est 1/R
2 , alors que les courbures de Gauss
du plan et du cylindre sont toutes deux nulles.) On doit donc faire des compromis.
Ceux-ci d´ ependent de la probl´ ematique.
Toutes les m´ ethodes de cartographie sont des projections de divers types.
Projection sur un plan tangent ` a la sph` ere C’est la m´ ethode la plus ´ el´ ementaire ` a
laquelle on puisse songer. Il existe diff´ erents types de projection suivant que l’on projette
par le centre de la sph` ere (projection gnomonique), par le point antipodal au point de
tangence (projection st´ er´ eographique), ou encore, par des droites orthogonales au plan de
projection (projection orthographique) (voir figure 1.6). Ce type de cartographie donne
des r´ esultats acceptables si on veut cartographier une petite r´ egion de la sph` ere. Par
contre, les d´ eformations deviennent importantes d` es qu’on s’´ eloigne du point de tangence
entre la sph` ere et le plan. Sur le plan math´ ematique, ces projections ne pr´ esentent pas
un grand int´ erˆ et (sauf la projection st´ er´ eographique discut´ ee ` a l’exercice 24), et nous ne
nous ´ etendrons pas plus dessus.
(a) Projection gnomonique
(b) Projection st´ er´ eographique
(c) Projection orthographique
Fig. 1.6. Trois types de projection sur un plan
D’ici la fin de la section, nous allons nous concentrer sur des projections sur un
cylindre. En effet, on peut ensuite d´ erouler le cyclindre et obtenir une carte plane. D´ ej` a,
on a fait un gros progr` es : toute la r´ egion voisine de l’´ equateur est repr´ esent´ ee de mani` ere