12.6 Exercices
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5. Terminer le calcul de la somme apparaissant en (12.15) dans le sous-cas N impair.
6. Une fonction
f : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} × {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} → {0, 1, 2, . . . , 255}
est repr´ esent´ ee graphiquement par les tons de gris suivants ` a la figure 12.11. Les
valeurs f ij d’une mˆ eme ligne sont constantes, c’est-` a-dire f ij = f ik pour tous les
j, k ∈ {0, 1, 2, . . . , 7}.
a) Si f 0j = 0, f 1j = 64, f 2j = 128, f 3j = 192, f 4j = 192, f 5j = 128, f 6j = 64, f 7j =
0 pour tout j, calculer le α 00 d´ efini par le standard JPEG (sans faire la translation
des valeurs de f d´ ecrite ` a la premi` ere ´ etape du d´ ebut de la section 12.5).
b) La transformation en cosinus discr` ete du standard JPEG appliqu´ ee ` a la fonction
f ` a lignes constantes m` enera ` a de nombreux α kl nuls. Dire lesquels et expliquer.
7. Soit C la matrice de transformation en cosinus discr` ete. Ses ´ el´ ements [C] ij = c ij , 0 ≤
i, j ≤ N − 1, sont donn´ es en (12.7). Soit N pair. Montrer que chacun des ´ el´ ements
des lignes i de C, pour i impair, est une des N valeurs suivantes :
±
2
N
cos
kπ
2N
,
o` u k ∈ {1, 3, 5, . . . , N − 1}.
8. La figure 12.12 repr´ esente un bloc 8 × 8 de tons de gris. Quel est le coefficient α ij
le plus grand en valeur absolue (si on exclut de la course le coefficient α 00 ) ? Quel
est son signe ?
9. Avec l’av` enement de la photographie num´ erique, les programmes permettant de
retoucher les photographies sont devenus populaires. Ils permettent entre autres de
recadrer une photo en rognant des bandes verticales ou horizontales de l’original.
Expliquer pourquoi il est avantageux de rogner des bandes contenant des lignes ou
des colonnes de pixels dont le nombre est un multiple de 8.
10. a) Deux copies d’une mˆ eme photographie sont comprim´ ees ind´ ependamment avec
deux tables de quantification diff´ erentes, q ij et q
ij . Si q ij > q
ij pour tout i et tout
j, quel sera, en g´ en´ eral, le fichier le plus gros, le premier ou le second ? Quelle table
de quantification m` enera ` a la d´ egradation la plus s´ erieuse de la photographie ?
b) Si la table de quantification 12.6 est utilis´ ee et si α 34 = 87,2, quelle est la
valeur de 34 ? Et si α 34 = −87,2 ?
c) Quelle est la plus petite valeur de q 34 qui m` ene ` a un 34 nul pour les valeurs
α 34 de la question pr´ ec´ edente ?
d) Est-ce que kj (−α kj ) = − kj (α kj ) ? Expliquer.
Note : un autre probl` eme technologique vient de la possibilit´ e de comprimer une
seconde fois une photo en format JPEG. Si le fichier d’une photo (comprim´ ee
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5. Terminer le calcul de la somme apparaissant en (12.15) dans le sous-cas N impair.
6. Une fonction
f : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} × {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} → {0, 1, 2, . . . , 255}
est repr´ esent´ ee graphiquement par les tons de gris suivants ` a la figure 12.11. Les
valeurs f ij d’une mˆ eme ligne sont constantes, c’est-` a-dire f ij = f ik pour tous les
j, k ∈ {0, 1, 2, . . . , 7}.
a) Si f 0j = 0, f 1j = 64, f 2j = 128, f 3j = 192, f 4j = 192, f 5j = 128, f 6j = 64, f 7j =
0 pour tout j, calculer le α 00 d´ efini par le standard JPEG (sans faire la translation
des valeurs de f d´ ecrite ` a la premi` ere ´ etape du d´ ebut de la section 12.5).
b) La transformation en cosinus discr` ete du standard JPEG appliqu´ ee ` a la fonction
f ` a lignes constantes m` enera ` a de nombreux α kl nuls. Dire lesquels et expliquer.
7. Soit C la matrice de transformation en cosinus discr` ete. Ses ´ el´ ements [C] ij = c ij , 0 ≤
i, j ≤ N − 1, sont donn´ es en (12.7). Soit N pair. Montrer que chacun des ´ el´ ements
des lignes i de C, pour i impair, est une des N valeurs suivantes :
±
2
N
cos
kπ
2N
,
o` u k ∈ {1, 3, 5, . . . , N − 1}.
8. La figure 12.12 repr´ esente un bloc 8 × 8 de tons de gris. Quel est le coefficient α ij
le plus grand en valeur absolue (si on exclut de la course le coefficient α 00 ) ? Quel
est son signe ?
9. Avec l’av` enement de la photographie num´ erique, les programmes permettant de
retoucher les photographies sont devenus populaires. Ils permettent entre autres de
recadrer une photo en rognant des bandes verticales ou horizontales de l’original.
Expliquer pourquoi il est avantageux de rogner des bandes contenant des lignes ou
des colonnes de pixels dont le nombre est un multiple de 8.
10. a) Deux copies d’une mˆ eme photographie sont comprim´ ees ind´ ependamment avec
deux tables de quantification diff´ erentes, q ij et q
ij . Si q ij > q
ij pour tout i et tout
j, quel sera, en g´ en´ eral, le fichier le plus gros, le premier ou le second ? Quelle table
de quantification m` enera ` a la d´ egradation la plus s´ erieuse de la photographie ?
b) Si la table de quantification 12.6 est utilis´ ee et si α 34 = 87,2, quelle est la
valeur de 34 ? Et si α 34 = −87,2 ?
c) Quelle est la plus petite valeur de q 34 qui m` ene ` a un 34 nul pour les valeurs
α 34 de la question pr´ ec´ edente ?
d) Est-ce que kj (−α kj ) = − kj (α kj ) ? Expliquer.
Note : un autre probl` eme technologique vient de la possibilit´ e de comprimer une
seconde fois une photo en format JPEG. Si le fichier d’une photo (comprim´ ee