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11 Compression d’images par fonctions it´ er´ ees
et d’une des huit transformations lin´ eaires L suivantes :
1. l’identit´ e ( 1 0
0 1 ) ;
2. la rotation d’angle π/2 dont la matrice est
0 −1
1 0
;
3. la rotation de π ou sym´ etrie par rapport `
a l’origine, de matrice
−1 0
0 −1
;
4. la rotation d’angle −π/2, de matrice
0 1
−1 0
;
5. la sym´ etrie par rapport `
a l’axe horizontal, de matrice
1 0
0 −1
;
6. la sym´ etrie par rapport `
a l’axe vertical, de matrice
−1 0
0 1
;
7. la sym´ etrie par rapport `
a la premi` ere diagonale, de matrice ( 0 1
1 0 ) ;
8. la sym´ etrie par rapport `
a la deuxi` eme diagonale, de matrice
0 −1
−1 0
.
Notons que les matrices associ´ ees ` a ces transformations lin´ eaires sont des matrices orthogonales, c’est-` a-dire dont l’inverse est ´ egal `
a la transpos´ ee. (Exercice : ` a la figure
11.9, quelle est la transformation lin´ eaire utilis´ ee pour envoyer le grand carr´ e sur le
petit carr´ e ?)
Pour d´ ecider si les fonctions de deux carr´ es se ressemblent, nous d´ efinirons une
distance d entre fonctions. Et le syst` eme de fonctions it´ er´ ees partitionn´ e que nous introduirons produira des it´ er´ ees se rapprochant l’une de l’autre par rapport `
a cette mˆ eme
distance d sur l’ensemble F de toutes les photographies. Si f, f
∈ F, c’est-` a-dire si f
et f
sont deux photographies sur notre rectangle initial, alors la distance entre elles
d´ efinie par
d h×v (f, f
) =
h−1
x=0
v−1
y=0
(f (x, y) − f (x, y))
2
est la distance d 3 donn´ e en (11.9) dans l’exemple 11.8. Cette distance semble tr` es intimidante. Elle n’est cependant que la distance euclidienne sur l’espace vectoriel R
h×v .
En effet, elle correspond ` a la racine carr´ ee de la somme du carr´ e des diff´ erences pour
chaque composante des deux fonctions ; dans le cas pr´ esent, ce sont les diff´ erences des
tons de gris dans chaque pixel. Pour d´ ecider si un grand carr´ e G i ressemble au petit
carr´ e C i , nous devons aussi introduire la distance entre G i et C i . En fait, on calcule la
distance entre f Ci , qui est la photographie restreinte ` a C i et la photographie f Ci sur
C i correspondant `
a T i (f Gi ), qui est l’image par T i de la photographie restreinte ` a G i ,
o` u T i est une des transformations affines d´ ecrites ci-dessus et T i est la transformation
associ´ ee obtenue
• en commen¸ cant par faire la moyenne des tons de gris de chaque groupe de 2 × 2
pixels de G i dont l’image recouvre un unique pixel de C i et
• en appliquant T i .
Soit H i (respectivement V i ) l’ensemble des abscisses (respectivement ordonn´ ees) des
pixels de C i :
d 4 (f Ci , f Ci ) =
x∈Hi
y∈Vi
f Ci (x, y) − f Ci (x, y)
2 .
(11.18)
11 Compression d’images par fonctions it´ er´ ees
et d’une des huit transformations lin´ eaires L suivantes :
1. l’identit´ e ( 1 0
0 1 ) ;
2. la rotation d’angle π/2 dont la matrice est
0 −1
1 0
;
3. la rotation de π ou sym´ etrie par rapport `
a l’origine, de matrice
−1 0
0 −1
;
4. la rotation d’angle −π/2, de matrice
0 1
−1 0
;
5. la sym´ etrie par rapport `
a l’axe horizontal, de matrice
1 0
0 −1
;
6. la sym´ etrie par rapport `
a l’axe vertical, de matrice
−1 0
0 1
;
7. la sym´ etrie par rapport `
a la premi` ere diagonale, de matrice ( 0 1
1 0 ) ;
8. la sym´ etrie par rapport `
a la deuxi` eme diagonale, de matrice
0 −1
−1 0
.
Notons que les matrices associ´ ees ` a ces transformations lin´ eaires sont des matrices orthogonales, c’est-` a-dire dont l’inverse est ´ egal `
a la transpos´ ee. (Exercice : ` a la figure
11.9, quelle est la transformation lin´ eaire utilis´ ee pour envoyer le grand carr´ e sur le
petit carr´ e ?)
Pour d´ ecider si les fonctions de deux carr´ es se ressemblent, nous d´ efinirons une
distance d entre fonctions. Et le syst` eme de fonctions it´ er´ ees partitionn´ e que nous introduirons produira des it´ er´ ees se rapprochant l’une de l’autre par rapport `
a cette mˆ eme
distance d sur l’ensemble F de toutes les photographies. Si f, f
∈ F, c’est-` a-dire si f
et f
sont deux photographies sur notre rectangle initial, alors la distance entre elles
d´ efinie par
d h×v (f, f
) =
h−1
x=0
v−1
y=0
(f (x, y) − f (x, y))
2
est la distance d 3 donn´ e en (11.9) dans l’exemple 11.8. Cette distance semble tr` es intimidante. Elle n’est cependant que la distance euclidienne sur l’espace vectoriel R
h×v .
En effet, elle correspond ` a la racine carr´ ee de la somme du carr´ e des diff´ erences pour
chaque composante des deux fonctions ; dans le cas pr´ esent, ce sont les diff´ erences des
tons de gris dans chaque pixel. Pour d´ ecider si un grand carr´ e G i ressemble au petit
carr´ e C i , nous devons aussi introduire la distance entre G i et C i . En fait, on calcule la
distance entre f Ci , qui est la photographie restreinte ` a C i et la photographie f Ci sur
C i correspondant `
a T i (f Gi ), qui est l’image par T i de la photographie restreinte ` a G i ,
o` u T i est une des transformations affines d´ ecrites ci-dessus et T i est la transformation
associ´ ee obtenue
• en commen¸ cant par faire la moyenne des tons de gris de chaque groupe de 2 × 2
pixels de G i dont l’image recouvre un unique pixel de C i et
• en appliquant T i .
Soit H i (respectivement V i ) l’ensemble des abscisses (respectivement ordonn´ ees) des
pixels de C i :
d 4 (f Ci , f Ci ) =
x∈Hi
y∈Vi
f Ci (x, y) − f Ci (x, y)
2 .
(11.18)