11.7 Une photographie comme attracteur
363
Fig. 11.9. Choix d’un grand carr´ e ressemblant au petit carr´ e
Chaque point de l’image est repr´ esent´ e par ses coordonn´ ees (x, y, z) o` u, `
a nouveau,
z est le ton de gris du point (x, y). Une transformation affine T i envoyant le grand carr´ e
G i sur le petit carr´ e C i sera choisie de la forme
T i
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎠ =
⎛
⎝
a i b i 0
c i d i 0
0 0 s i
⎞
⎠
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎠ +
⎛
⎝
α i
β i
g i
⎞
⎠ .
(11.16)
Restreinte aux coordonn´ ees (x, y), cette transformation est une simple contraction affine
t i (x, y) = (a i x + b i y + α i , c i x + d i y + β i ),
(11.17)
du type qu’on a consid´ er´ e plus tˆ ot. Regardons maintenant le ton de gris. Le param` etre
s i sert `
a modifier l’´ etendue du spectre de gris utilis´ e dans le carr´ e : s i < 1 si le petit
carr´ e C i est moins contrast´ e que le grand carr´ e G i , et s i > 1 s’il l’est plus. Le param` etre
g i correspond `
a une translation du spectre de gris. On a g i < 0 si le grand carr´ e est plus
pˆ ale en moyenne que le petit (rappelons que 0 repr´ esente le noir et 255, le blanc). Au
contraire, g i > 0 si le grand carr´ e est plus fonc´ e en moyenne que le petit. En pratique,
puisque le grand carr´ e contient quatre fois plus de pixels (8 × 8 = 64 pixels au total) que
le petit (qui en contient 4 × 4 = 16), on commence par remplacer chaque carr´ e de deux
pixels par deux pixels de G i par un carr´ e d’une couleur uniforme donn´ ee par la moyenne
des tons de gris des quatre pixels de ce carr´ e. On compose avec la transformation T i :
on appelle la compos´ ee T i . Si les cˆ ot´ es du grand carr´ e G i sont envoy´ es sur ceux du
petit carr´ e C i , le choix de la partie lin´ eaire
a i b i
c i d i
de la transformation affine T i est
grandement limit´ e. En effet, la partie lin´ eaire de la transformation est la composition
de l’homoth´ etie de rapport 1/2,
(x, y) → (x/2, y/2),
363
Fig. 11.9. Choix d’un grand carr´ e ressemblant au petit carr´ e
Chaque point de l’image est repr´ esent´ e par ses coordonn´ ees (x, y, z) o` u, `
a nouveau,
z est le ton de gris du point (x, y). Une transformation affine T i envoyant le grand carr´ e
G i sur le petit carr´ e C i sera choisie de la forme
T i
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎠ =
⎛
⎝
a i b i 0
c i d i 0
0 0 s i
⎞
⎠
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎠ +
⎛
⎝
α i
β i
g i
⎞
⎠ .
(11.16)
Restreinte aux coordonn´ ees (x, y), cette transformation est une simple contraction affine
t i (x, y) = (a i x + b i y + α i , c i x + d i y + β i ),
(11.17)
du type qu’on a consid´ er´ e plus tˆ ot. Regardons maintenant le ton de gris. Le param` etre
s i sert `
a modifier l’´ etendue du spectre de gris utilis´ e dans le carr´ e : s i < 1 si le petit
carr´ e C i est moins contrast´ e que le grand carr´ e G i , et s i > 1 s’il l’est plus. Le param` etre
g i correspond `
a une translation du spectre de gris. On a g i < 0 si le grand carr´ e est plus
pˆ ale en moyenne que le petit (rappelons que 0 repr´ esente le noir et 255, le blanc). Au
contraire, g i > 0 si le grand carr´ e est plus fonc´ e en moyenne que le petit. En pratique,
puisque le grand carr´ e contient quatre fois plus de pixels (8 × 8 = 64 pixels au total) que
le petit (qui en contient 4 × 4 = 16), on commence par remplacer chaque carr´ e de deux
pixels par deux pixels de G i par un carr´ e d’une couleur uniforme donn´ ee par la moyenne
des tons de gris des quatre pixels de ce carr´ e. On compose avec la transformation T i :
on appelle la compos´ ee T i . Si les cˆ ot´ es du grand carr´ e G i sont envoy´ es sur ceux du
petit carr´ e C i , le choix de la partie lin´ eaire
a i b i
c i d i
de la transformation affine T i est
grandement limit´ e. En effet, la partie lin´ eaire de la transformation est la composition
de l’homoth´ etie de rapport 1/2,
(x, y) → (x/2, y/2),