11.2 Les transformations affines du plan
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On pourra aussi l’utiliser pour les transformations affines :
T
x
y
=
a b
c d
x
y
+
e
f
.
On voit que la transformation affine est sp´ ecifi´ ee par les six nombres a, b, c, d, e, f .
Pour d´ eterminer de mani` ere unique une transformation affine, on a donc besoin de six
´ equations lin´ eaires.
Th´ eor` eme 11.2 Il existe une unique transformation affine qui envoie trois points P 1 ,
P 2 et P 3 distincts non align´ es sur trois points quelconques Q 1 , Q 2 et Q 3 .
Preuve Soient (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ) les coordonn´ ees de P 1 , P 2 , P 3 et (X 1 , Y 1 ),
(X 2 , Y 2 ), (X 3 , Y 3 ) les coordonn´ ees de Q 1 , Q 2 , Q 3 . La transformation cherch´ ee est de
la forme (11.1), et on doit d´ eterminer a, b, c, d, e, f , sachant que T (x i , y i ) = (X i , Y i ),
i = 1, 2, 3. Ceci nous donne six ´ equations `
a six inconnues, a, b, c, d, e, f :
ax 1 + by 1 + e = X 1 ,
cx 1 + dy 1 + f = Y 1 ,
ax 2 + by 2 + e = X 2 ,
cx 2 + dy 2 + f = Y 2 ,
ax 3 + by 3 + e = X 3 ,
cx 3 + dy 3 + f = Y 3 .
Tout comme a, b, e sont les solutions du syst` eme
ax 1 + by 1 + e = X 1 ,
ax 2 + by 2 + e = X 2 ,
ax 3 + by 3 + e = X 3 ,
(11.2)
c, d, f sont les solutions du syst` eme
cx 1 + dy 1 + f = Y 1 ,
cx 2 + dy 2 + f = Y 2 ,
cx 3 + dy 3 + f = Y 3 ,
(11.3)
de mˆ eme matrice A, dont le d´ eterminant est
det A =
x 1 y 1 1
x 2 y 2 1
x 3 y 3 1
.
Voyons que ce d´ eterminant est non nul pr´ ecis´ ement quand les points P 1 , P 2 et P 3 sont
non align´ es (et donc distincts). En effet, les trois points sont align´ es si et seulement si
les vecteurs
− −− →
P 1 P 2 = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 ) et
− −− →
P 1 P 3 = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 ) sont colin´ eaires, ce
qui est le cas si et seulement si le d´ eterminant suivant s’annule :
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On pourra aussi l’utiliser pour les transformations affines :
T
x
y
=
a b
c d
x
y
+
e
f
.
On voit que la transformation affine est sp´ ecifi´ ee par les six nombres a, b, c, d, e, f .
Pour d´ eterminer de mani` ere unique une transformation affine, on a donc besoin de six
´ equations lin´ eaires.
Th´ eor` eme 11.2 Il existe une unique transformation affine qui envoie trois points P 1 ,
P 2 et P 3 distincts non align´ es sur trois points quelconques Q 1 , Q 2 et Q 3 .
Preuve Soient (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ) les coordonn´ ees de P 1 , P 2 , P 3 et (X 1 , Y 1 ),
(X 2 , Y 2 ), (X 3 , Y 3 ) les coordonn´ ees de Q 1 , Q 2 , Q 3 . La transformation cherch´ ee est de
la forme (11.1), et on doit d´ eterminer a, b, c, d, e, f , sachant que T (x i , y i ) = (X i , Y i ),
i = 1, 2, 3. Ceci nous donne six ´ equations `
a six inconnues, a, b, c, d, e, f :
ax 1 + by 1 + e = X 1 ,
cx 1 + dy 1 + f = Y 1 ,
ax 2 + by 2 + e = X 2 ,
cx 2 + dy 2 + f = Y 2 ,
ax 3 + by 3 + e = X 3 ,
cx 3 + dy 3 + f = Y 3 .
Tout comme a, b, e sont les solutions du syst` eme
ax 1 + by 1 + e = X 1 ,
ax 2 + by 2 + e = X 2 ,
ax 3 + by 3 + e = X 3 ,
(11.2)
c, d, f sont les solutions du syst` eme
cx 1 + dy 1 + f = Y 1 ,
cx 2 + dy 2 + f = Y 2 ,
cx 3 + dy 3 + f = Y 3 ,
(11.3)
de mˆ eme matrice A, dont le d´ eterminant est
det A =
x 1 y 1 1
x 2 y 2 1
x 3 y 3 1
.
Voyons que ce d´ eterminant est non nul pr´ ecis´ ement quand les points P 1 , P 2 et P 3 sont
non align´ es (et donc distincts). En effet, les trois points sont align´ es si et seulement si
les vecteurs
− −− →
P 1 P 2 = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 ) et
− −− →
P 1 P 3 = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 ) sont colin´ eaires, ce
qui est le cas si et seulement si le d´ eterminant suivant s’annule :